Упр.900 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 0,1111…;
2) 0,(5);
3) 0,(24);
4) 0,416416416…;
5) 0,2666…;
6) 0,6252525…;
7) 1,181818…;
8) 2,3(36).

Подробный ответ

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

Представим каждую периодическую дробь как сумму членов геометрической прогрессии.

$$0,1111\ldots=0,1+0,01+0,001+\ldots$$
$$b_1=0,1,\quad q=0,1.$$
$$S=\frac{0,1}{1-0,1}=\frac{0,1}{0,9}=\frac{1}{9}.$$
$$0,(5)=0,5555\ldots=0,5+0,05+0,005+\ldots$$
$$b_1=0,5,\quad q=0,1.$$
$$S=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}.$$
$$0,(24)=0,242424\ldots=0,24+0,0024+0,000024+\ldots$$
$$b_1=0,24,\quad q=0,01.$$
$$S=\frac{0,24}{1-0,01}=\frac{0,24}{0,99}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}.$$
$$0,416416416\ldots=0,416+0,000416+0,000000416+\ldots$$
$$b_1=0,416,\quad q=0,001.$$
$$S=\frac{0,416}{1-0,001}=\frac{0,416}{0,999}=\frac{416}{999}.$$
$$0,2666\ldots=0,2+0,06+0,006+0,0006+\ldots$$
$$0,06+0,006+0,0006+\ldots$$ — геометрическая прогрессия, где
$$b_1=0,06,\quad q=0,1.$$
Тогда
$$S=0,2+\frac{0,06}{1-0,1}=0,2+\frac{0,06}{0,9}=0,2+\frac{1}{15}=\frac{4}{15}.$$
$$0,6252525\ldots=0,6+0,025+0,0025+0,00025+\ldots$$
$$b_1=0,025,\quad q=0,1.$$
Тогда
$$S=0,6+\frac{0,025}{1-0,01}=0,6+\frac{0,025}{0,99}=\frac{3}{5}+\frac{25}{990}=\frac{619}{990}.$$
$$1,181818\ldots=1+0,18+0,0018+0,000018+\ldots$$
$$b_1=0,18,\quad q=0,01.$$
Тогда
$$S=1+\frac{0,18}{1-0,01}=1+\frac{0,18}{0,99}=1+\frac{18}{99}=1+\frac{2}{11}=\frac{13}{11}.$$
$$2,3(36)=2,3363636\ldots=2,3+0,036+0,00036+\ldots$$
$$b_1=0,036,\quad q=0,01.$$
Тогда
$$S=2,3+\frac{0,036}{1-0,01}=2,3+\frac{0,036}{0,99}=\frac{23}{10}+\frac{2}{55}=\frac{257}{110}.$$