Упр.851 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) (а — 1)/a, (а — 3)/a, (а — 5)/a, …;
2) (а — b)/(a + b), (За — b)/(a + b), (5а — b)/(a + b), … . Последовательность (bn) является геометрической прогрессией со знаменателем q.
Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) b1, b3, …, b(2n — 1);
2) 2b1, 2b2, …, 2bn;
3) b1 + b2, b2 + b3, …, b(n — 1) + bn;
4) 1/b1, 1/b2, …, 1/bn?
В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1) Последовательность $$\frac{a-1}{a},\ \frac{a-3}{a},\ \frac{a-5}{a},\ldots$$ является арифметической, так как разность соседних членов постоянна:

$$d=\frac{a-3}{a}-\frac{a-1}{a}=-\frac{2}{a}.$$

Тогда

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,$$

где $$a_1=\frac{a-1}{a}.$$ Подставим:

$$ S_n=\frac{2\cdot \frac{a-1}{a}-\frac{2}{a}(n-1)}{2}\cdot n =\frac{\frac{2a-2-2n+2}{a}}{2}\cdot n =\frac{2a-2n}{2a}\cdot n =\frac{n(a-n)}{a}. $$

2) Последовательность $$\frac{a-b}{a+b},\ \frac{3a-b}{a+b},\ \frac{5a-b}{a+b},\ldots$$ тоже арифметическая, так как

$$d=\frac{3a-b}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2a}{a+b}.$$

Здесь $$a_1=\frac{a-b}{a+b}.$$ Тогда

$$ S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n =\frac{2\cdot \frac{a-b}{a+b}+\frac{2a}{a+b}(n-1)}{2}\cdot n =\frac{\frac{2a-2b+2an-2a}{a+b}}{2}\cdot n =\frac{n(an-b)}{a+b}. $$

3) Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

Тогда

$$b_1,\ b_3,\ b_5,\ldots,b_{2n-1}$$

имеют знаменатель

$$\frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}}=\frac{b_1q^{2k}}{b_1q^{2k-2}}=q^2.$$

Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2.$$

4) Для последовательности $$2b_1,\ 2b_2,\ldots,2b_n$$ знаменатель не меняется:

$$\frac{2b_{k+1}}{2b_k}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q.$$

5) Для последовательности $$b_1+b_2,\ b_2+b_3,\ldots,b_{n-1}+b_n$$:

$$ \frac{b_{k+1}+b_{k+2}}{b_k+b_{k+1}} =\frac{b_kq^{k}+b_kq^{k+1}}{b_kq^{k-1}+b_kq^{k}} =\frac{q^k(1+q)}{q^{k-1}(1+q)}=q, $$

если $$q\neq -1$$. При $$q=-1$$ все суммы равны нулю, и знаменатель прогрессии не определён.

6) Для последовательности $$\frac1{b_1},\ \frac1{b_2},\ldots,\frac1{b_n}$$:

$$ \frac{1/b_{k+1}}{1/b_k}=\frac{b_k}{b_{k+1}}=\frac1q. $$

Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac1q$$, если $$q\neq 0.$$

Ответ

1) $$S_n=\frac{n(a-n)}{a}$$; 2) $$S_n=\frac{n(an-b)}{a+b}$$; 3) да, знаменатель $$q^2$$; 4) да, знаменатель $$q$$; 5) да, знаменатель $$q$$, при $$q\neq -1$$; 6) да, знаменатель $$\frac1q$$, при $$q\neq 0$$.