Упр.849 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

В правильный треугольник со стороной а последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 103).
Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу n-го члена этой прогрессии.

Пусть $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда

$$b=\frac{a+c}{2}, \qquad a+c=2b.$$

Рассмотрим средний из данных трёх выражений:

$$a^2+ac+c^2=\frac{a^2+ab+b^2+b^2+bc+c^2}{2}.$$

Так как $$a+c=2b$$, то

$$a^2+2ac+c^2= a^2+2b^2+ab+bc+c^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2b^2+c^2+2ac-ab-bc=0.$$

Сгруппируем:

$$\bigl(a^2+2ac+c^2\bigr)-2b^2-b(a+c)=0.$$

Подставим $$a+c=2b$$:

$$\bigl(a+c\bigr)^2-2b^2-b(a+c)=0,$$

$$4b^2-2b^2-2b^2=0.$$

Следовательно, средний член равен среднему арифметическому двух других, значит числа

$$a^2+ab+b^2,\quad a^2+ac+c^2,\quad b^2+bc+c^2$$

образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

$$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.