Упр.838 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Сколько взяли 40-процентного раствора? Число 96 является членом геометрической прогрессии 3/8, 3/4, 3/2, … .
Найдите номер этого члена.

Обозначим через $$x$$ массу 40%-ного раствора, а через $$y$$ массу 60%-ного раствора.

Тогда количество кислоты в смесях равно:

$$0{,}4x+0{,}6y$$

По условию, после добавления $$8$$ кг воды получили 20%-ный раствор:

$$\frac{0{,}4x+0{,}6y}{x+y+8}=0{,}2$$

Если вместо воды добавить $$5$$ кг 70%-ного раствора, то масса кислоты увеличится на $$3{,}5$$ кг, а общая масса станет $$x+y+5$$. Получаем:

$$\frac{0{,}4x+0{,}6y+3{,}5}{x+y+5}=0{,}61$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 0{,}4x+0{,}6y=0{,}2(x+y+8),\\ 0{,}4x+0{,}6y+3{,}5=0{,}61(x+y+5). \end{cases} $$

Преобразуем уравнения:

$$ \begin{cases} 0{,}2x+0{,}4y=1{,}6,\\ -0{,}21x-0{,}01y=-0{,}45. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$100$$:

$$ \begin{cases} x+2y=8,\\ 21x+y=45. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$x=8-2y$$. Подставим во второе:

$$ 21(8-2y)+y=45 $$

$$ 168-42y+y=45 $$

$$ -41y=-123 $$

$$ y=3 $$

Тогда

$$ x=8-2\cdot 3=2 $$

Значит, взяли $$2$$ кг 40%-ного раствора.

Теперь найдём номер члена геометрической прогрессии $$\frac{3}{8},\frac{3}{4},\frac{3}{2},\dots$$, равного $$96$$.

Знаменатель прогрессии:

$$ q=\frac{3/4}{3/8}=2 $$

Формула $$n$$-го члена:

$$ b_n=b_1q^{n-1} $$

Подставим данные:

$$ 96=\frac{3}{8}\cdot 2^{n-1} $$

$$ 2^{n-1}=96\cdot \frac{8}{3}=256 $$

$$ 256=2^8 $$

Следовательно,

$$ n-1=8,\quad n=9 $$

Ответ

$$2\text{ кг};\ 9$$