Упр.818 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Диагональ прямоугольника равна 17 см, а его площадь — 120 см^2. Найдите стороны прямоугольника. Шестой член геометрической прогрессии (bn) равен 8, а знаменатель равен -4. Найдите седьмой член прогрессии.

Обозначим стороны прямоугольника через $$a$$ и $$b$$.

Тогда по условию:

$$ab=120,$$

а по теореме Пифагора для диагонали:

$$a^2+b^2=17^2=289.$$

Выразим $$a$$ через $$b$$:

$$a=\frac{120}{b}.$$

Подставим в уравнение для диагонали:

$$\left(\frac{120}{b}\right)^2+b^2=289.$$

Умножим на $$b^2$$:

$$14400+b^4=289b^2,$$

$$b^4-289b^2+14400=0.$$

Положим $$t=b^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-289t+14400=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=289^2-4\cdot14400=83521-57600=25921=161^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{289\pm161}{2}.$$

Отсюда:

$$t_1=64,\quad t_2=225.$$

Значит,

$$b^2=64 \Rightarrow b=8,$$

$$b^2=225 \Rightarrow b=15.$$

Тогда в обоих случаях вторая сторона равна соответственно $$15$$ и $$8$$. Следовательно, стороны прямоугольника:

$$8\text{ см} \text{ и } 15\text{ см}.$$

Для геометрической прогрессии используем формулу:

$$b_{n+1}=b_nq.$$

Тогда

$$b_7=b_6\cdot q=8\cdot(-4)=-32.$$

Ответ

$$8\text{ см и }15\text{ см};\ -32.$$