Упр.742 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, а сумма четырёх её первых членов равна 1 7/8. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии. Величины углов треугольника образуют арифметическую прогрессию. Какова градусная мера среднего по величине угла треугольника?

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а её знаменатель — $$q$$.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=2.$$

Тогда

$$b_1=2(1-q).$$

Сумма первых четырёх членов равна $$1\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$$, значит

$$S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{15}{8}.$$

Подставим $$b_1=2(1-q)$$:

$$ \frac{2(1-q)(1-q^4)}{1-q}=\frac{15}{8} $$

$$ 2(1-q^4)=\frac{15}{8} $$

$$ 1-q^4=\frac{15}{16} $$

$$ q^4=\frac{1}{16} $$

Отсюда

$$q=\pm \frac{1}{2}.$$

Найдём соответствующие значения $$b_1$$:

при $$q=\frac{1}{2}$$

$$b_1=2\left(1-\frac{1}{2}\right)=1;$$

при $$q=-\frac{1}{2}$$

$$b_1=2\left(1+\frac{1}{2}\right)=3.$$

Теперь рассмотрим углы треугольника. Пусть они образуют арифметическую прогрессию:

$$a-d,\ a,\ a+d.$$

Тогда их сумма равна $$180^\circ$$:

$$ (a-d)+a+(a+d)=180^\circ $$

$$ 3a=180^\circ $$

$$ a=60^\circ. $$

Средний по величине угол треугольника равен $$60^\circ$$.

Ответ

$$b_1=1,\ q=\frac{1}{2}$$ или $$b_1=3,\ q=-\frac{1}{2}$$; $$60^\circ$$.