Упр.550 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) a3;
2) a11;
3) a32.
В ёмкости было 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до предыдущего уровня водой.
Потом снова отлили столько же, сколько и в первый раз, и долили водой до предыдущего уровня.
Сколько килограммов жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Подробный ответ

1) Для арифметической прогрессии используем формулу $$a_n=a_1+d(n-1).$$

Тогда

$$a_n=4+0{,}4(n-1)=4+0{,}4n-0{,}4=0{,}4n+3{,}6.$$

Найдём нужные члены:

$$a_3=0{,}4\cdot 3+3{,}6=4{,}8,$$

$$a_{11}=0{,}4\cdot 11+3{,}6=8,$$

$$a_{32}=0{,}4\cdot 32+3{,}6=16{,}4.$$

2) Пусть каждый раз отливали $$x$$ кг жидкости. Тогда после первого отливания и доливания воды количество кислоты стало $$12-x$$ кг, а после второго отливания кислоты осталось

$$12-x-\frac{x}{12}(12-x).$$

По условию в итоге получился 25%-й раствор, значит кислоты стало $$\frac14$$ от всей массы, то есть

$$\frac{12-x-\frac{x}{12}(12-x)}{12}=\frac14.$$

Упростим:

$$12-x-\frac{x}{12}(12-x)=12-x-x+\frac{x^2}{12}=12-2x+\frac{x^2}{12},$$

$$\frac{12-2x+\frac{x^2}{12}}{12}=\frac14.$$

Умножим на 144:

$$144-24x+x^2=36,$$

$$x^2-24x+108=0.$$

$$D=24^2-4\cdot 108=576-432=144,$$

$$x=\frac{24\pm 12}{2}.$$

Получаем $$x=6$$ или $$x=18$$. Так как отливать можно было не больше 12 кг, подходит только $$x=6$$.