Упр.437 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

и у = 6/x, определите количество корней уравнения x^2 + 4х + 1 = 6/x. Для каждого значения а решите систему неравенств:
1) система
х^2 — 5х + 4 > 0,
x > a;
2) система
4х^2 — Зх — 1 <= 0, х < а.

1) Найдём число корней уравнения

$$x^2+4x+1=\frac{6}{x}.$$

Это точки пересечения графиков функций $$y=x^2+4x+1$$ и $$y=\frac{6}{x}$$. По графику видно, что они пересекаются в трёх точках, значит уравнение имеет три корня.

Ответ: 3 корня.

2) Решим систему неравенств.

1) $$\begin{cases}x^2-5x+4>0,\\ x>a.\end{cases}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

Тогда

$$ (x-1)(x-4)>0, $$

откуда

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>4.$$

С учётом условия $$x>a$$ получаем:

• если $$a<1,$$ то $$a<x<1$$ или $$x>4;$$
• если $$1\le a\le 4,$$ то $$x>4;$$
• если $$a>4,$$ то $$x>a.$$

2) $$\begin{cases}4x^2-3x-1\le 0,\\ x<a.\end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$4x^2-3x-1=(4x+1)(x-1).$$

Тогда

$$ (4x+1)(x-1)\le 0, $$

откуда

$$-\frac14\le x\le 1.$$

С учётом условия $$x<a$$ получаем:

• если $$a\le -\frac14,$$ то решений нет;
• если $$-\frac14<a\le 1,$$ то $$-\frac14\le x<a;$$
• если $$a>1,$$ то $$-\frac14\le x\le 1.$$

Ответ

1) $$3$$ корня.

2) $$\begin{cases} a<1: & a<x<1 \text{ или } x>4,\\ 1\le a\le 4: & x>4,\\ a>4: & x>a; \end{cases}$$

$$\begin{cases} a\le -\frac14: & \text{решений нет},\\ -\frac14<a\le 1: & -\frac14\le x<a,\\ a>1: & -\frac14\le x\le 1. \end{cases}$$