Упр.428 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) у = х^2 — 4х — 5;
2) у = -х^2 + 2х + 3;
3) у = 6х — х^2;
4) у = 2х^2 — 8х + 8;
5) у = х^2 — 2х + 4;
6) у = -1/2 х^2 + 3x — 4;
7) у = х^2 — 6х + 5;
8) у = 2х^2 — 5х + 2. Найдите область определения функции:
1) y = корень(20 + 4х — Зх^2) + 3/корень(8 — 4x);
$$y=x^2-4x-5$$
Найдём координаты вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
$$y_0=2^2-4\cdot 2-5=4-8-5=-9.$$
Вершина: $$\left(2;\,-9\right)$$. Парабола направлена вверх.
$$y=-x^2+2x+3$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
$$y_0=-1^2+2\cdot 1+3=4.$$
Вершина: $$\left(1;\,4\right)$$. Парабола направлена вниз.
$$y=6x-x^2=-x^2+6x$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$
$$y_0=6\cdot 3-3^2=18-9=9.$$
Вершина: $$\left(3;\,9\right)$$. Парабола направлена вниз.
$$y=2x^2-8x+8$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 2}=2,$$
$$y_0=2\cdot 2^2-8\cdot 2+8=8-16+8=0.$$
Вершина: $$\left(2;\,0\right)$$. Парабола направлена вверх.
$$y=x^2-2x+4$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$
$$y_0=1^2-2\cdot 1+4=3.$$
Вершина: $$\left(1;\,3\right)$$. Парабола направлена вверх.
$$y=-\frac12 x^2+3x-4$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=3,$$
$$y_0=-\frac12\cdot 3^2+3\cdot 3-4=-\frac92+9-4=\frac12.$$
Вершина: $$\left(3;\,\frac12\right)$$. Парабола направлена вниз.
$$y=x^2-6x+5$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3,$$
$$y_0=3^2-6\cdot 3+5=9-18+5=-4.$$
Вершина: $$\left(3;\,-4\right)$$. Парабола направлена вверх.
$$y=2x^2-5x+2$$
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac54,$$
$$y_0=2\left(\frac54\right)^2-5\cdot \frac54+2=\frac{25}{8}-\frac{25}{4}+2=-\frac98.$$
Вершина: $$\left(\frac54;\,-\frac98\right)$$. Парабола направлена вверх.
$$y=\sqrt{20+4x-3x^2}+\frac{3}{\sqrt{8-4x}}$$
Для существования функции нужно:
$$20+4x-3x^2\ge 0,$$
$$8-4x>0.$$
Решим первое неравенство:
$$20+4x-3x^2\ge 0$$
$$3x^2-4x-20\le 0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 16}{6},\quad x_1=-2,\quad x_2=\frac{10}{3}.$$
Тогда
$$x\in\left[-2;\frac{10}{3}\right].$$
Из второго неравенства:
$$8-4x>0 \Rightarrow x<2.$$
Пересечение условий:
$$D(x)=\left[-2;2\right).$$
$$y=\frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^2}}+\frac{x+1}{|x|-6}$$
Нужно, чтобы:
$$35+2x-x^2>0,$$
$$|x|-6\ne 0.$$
Решим первое неравенство:
$$35+2x-x^2>0$$
$$x^2-2x-35<0$$
$$\left(x-7\right)\left(x+5\right)<0,$$
откуда
$$x\in(-5;7).$$
Из условия $$|x|-6\ne 0$$ получаем
$$x\ne \pm 6.$$
Тогда
$$D(x)=(-5;6)\cup(6;7).$$
Ответ
1) вершина $$\left(2;\,-9\right)$$; 2) вершина $$\left(1;\,4\right)$$; 3) вершина $$\left(3;\,9\right)$$; 4) вершина $$\left(2;\,0\right)$$; 5) вершина $$\left(1;\,3\right)$$; 6) вершина $$\left(3;\,\frac12\right)$$; 7) вершина $$\left(3;\,-4\right)$$; 8) вершина $$\left(\frac54;\,-\frac98\right)$$; 9) $$D(x)=\left[-2;2\right)$$; 10) $$D(x)=(-5;6)\cup(6;7)$$.
