Упр.423 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) у = 4х^2 + 3х + 6;
2) у = 4х + 3;
3) у = 1/(2х^2 — Зх + 2);
4) у = бx^2 — 5х? При каких значениях b имеет два различных действительных корня уравнение:
1) x^2 — 8bx + 15b + 1 = 0;
2) 2x^2 + 2(b — 6)х + b — 2 = 0?

Подробный ответ

Квадратичная функция имеет вид $$y=ax^2+bx+c,$$ где $$a\ne 0.$$
Проверим данные функции:
1) $$y=4x^2+3x+6$$ — квадратичная, так как $$a=4\ne 0.$$
2) $$y=4x+3$$ — не квадратичная, так как старшая степень переменной равна 1.
3) $$y=\frac{1}{2x^2-3x+2}$$ — не квадратичная, так как это дробно-рациональная функция.
4) $$y=6x^2-5x$$ — квадратичная, так как $$a=6\ne 0.$$
Чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: $$D>0.$$
1) $$x^2-8bx+15b+1=0$$
$$D=(-8b)^2-4(15b+1)=64b^2-60b-4>0$$
$$16b^2-15b-1>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=15^2+4\cdot 16=289,$$
$$b_{1,2}=\frac{15\pm 17}{32}.$$
$$b_1=1,\quad b_2=-\frac{1}{16}.$$
Тогда
$$16b^2-15b-1=(b-1)(16b+1),$$
и
$$(b-1)(16b+1)>0.$$
Отсюда
$$b\in\left(-\infty;-\frac{1}{16}\right)\cup(1;+\infty).$$
2) $$2x^2+2(b-6)x+b-2=0$$
$$D=[2(b-6)]^2-4\cdot 2\cdot (b-2)=4(b-6)^2-8(b-2)>0$$
$$b^2-14b+40>0$$
$$b^2-14b+40=(b-4)(b-10),$$
значит
$$(b-4)(b-10)>0.$$
Следовательно,
$$b\in(-\infty;4)\cup(10;+\infty).$$