Упр.411 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) значения трёхчлена х^2 — 2х — 11 меньше 1/4;
2) значения трёхчлена -Зх^2 + 8х + 6 не меньше -2/3?

1) Для параболы с вершиной в точке $$A(2;0)$$ и проходящей через точку $$B(0;4)$$ запишем функцию в виде

$$y=a(x-2)^2.$$

Подставим координаты точки $$B(0;4)$$:

$$4=a(0-2)^2=4a,$$

откуда $$a=1$$. Тогда

$$y=(x-2)^2.$$

2) Для параболы с вершиной в точке $$A(-3;0)$$ и проходящей через точку $$B(-2;-3)$$ имеем

$$y=a(x+3)^2.$$

Подставим координаты точки $$B(-2;-3)$$:

$$-3=a(-2+3)^2=a,$$

значит

$$y=-3(x+3)^2.$$

3) Решим неравенство

$$x^2-2x-11<\frac14.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^2-2x-11-\frac14<0,$$

$$4x^2-8x-45<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-8)^2-4\cdot 4\cdot(-45)=64+720=784,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{784}}{2\cdot 4}=\frac{8\pm 28}{8}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac52,\qquad x_2=\frac92.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

$$x\in\left(-\frac52;\frac92\right).$$

4) Решим неравенство

$$-3x^2+8x+6\ge -\frac23.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$-3x^2+8x+6+\frac23\ge 0,$$

$$-9x^2+24x+20\ge 0.$$

Найдём корни уравнения

$$-9x^2+24x+20=0.$$

Дискриминант:

$$D=24^2-4\cdot(-9)\cdot 20=576+720=1296,$$

$$x_{1,2}=\frac{-24\pm\sqrt{1296}}{2\cdot(-9)}=\frac{-24\pm 36}{-18}.$$

Отсюда

$$x_1=-\frac23,\qquad x_2=\frac{10}{3}.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, то неравенство выполняется между корнями:

$$x\in\left[-\frac23;\frac{10}{3}\right].$$

Ответ

$$y=(x-2)^2,\qquad y=-3(x+3)^2.$$

1) $$x\in\left(-\frac52;\frac92\right);$$ 2) $$x\in\left[-\frac23;\frac{10}{3}\right].$$