Упр.375 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а функция f(х) = (а — 1)х^2 + 2ах + 6 — а имеет единственный нуль? При каком значении с наименьшее значение функции у = 0,6x^2 — 6х + с равно -1?

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=(a-1)x^2+2ax+6-a.$$

Чтобы у неё был единственный нуль, возможны два случая:

• $$a-1=0,$$ тогда функция линейная: $$f(x)=2x+5,$$ и она имеет один корень;
• $$a-1\ne 0,$$ тогда функция квадратичная, и единственный нуль будет при $$D=0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=(2a)^2-4(a-1)(6-a) $$

$$ D=4a^2-4(6a-a^2-6+a)=4a^2-4(7a-a^2-6) $$

$$ D=4a^2-28a+4a^2+24=8a^2-28a+24. $$

Условие $$D=0$$ даёт:

$$ 8a^2-28a+24=0 $$

$$ 2a^2-7a+6=0 $$

$$ (2a-3)(a-2)=0. $$

Отсюда $$a=\frac32$$ или $$a=2.$$

С учётом линейного случая получаем: $$a=1,\ \frac32,\ 2.$$

2) Для функции $$y=0{,}6x^2-6x+c$$ наименьшее значение достигается в вершине параболы, так как $$0{,}6>0.$$

Абсцисса вершины:

$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 0{,}6}=5. $$

Тогда

$$ y_{\min}=y(5)=0{,}6\cdot 5^2-6\cdot 5+c=15-30+c=c-15. $$

По условию $$y_{\min}=-1,$$ значит

$$ c-15=-1, $$

$$ c=14. $$

Ответ

$$a=1,\ \frac32,\ 2;\quad c=14.$$