Упр.274 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {2(x-3)?3x+4(x+1), (x-3)(x+3)?(x-4)^2-1};
2) {5x+4?2x-8, (x+2)(x-1)?(x+3)(x-2)};
3) {(6x+1)/6-(5x-1)/5>-1, 2(x+8)-3(x+2)<5-x}. Функция у = f(х) является убывающей. Возрастающей или убывающей является функция (ответ обоснуйте): 1) у = 3f(х); 2) y = 1/3 f(x); 3) y = -f(x)?

Подробный ответ

Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 2(x-3)\le 3x+4(x+1),\\ (x-3)(x+3)\le (x-4)^2-1. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$2x-6\le 3x+4x+4,$$
$$5x\ge -10,$$
$$x\ge -2.$$
Второе неравенство:
$$(x-3)(x+3)\le (x-4)^2-1,$$
$$x^2-9\le x^2-8x+16-1,$$
$$-9\le -8x+15,$$
$$8x\le 24,$$
$$x\le 3.$$
Пересечение решений:
$$x\in[-2;3].$$
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 5x+4\le 2x-8,\\ (x+2)(x-1)\ge (x+3)(x-2). \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$5x+4\le 2x-8,$$
$$3x\le -12,$$
$$x\le -4.$$
Второе неравенство:
$$(x+2)(x-1)\ge (x+3)(x-2),$$
$$x^2+x-2\ge x^2+x-6,$$
$$-2\ge -6.$$
Это верно при любом $x$.
Тогда решение системы:
$$x\in(-\infty;-4].$$
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} \dfrac{6x+1}{6}-\dfrac{5x-1}{5}>-1,\\ 2(x+8)-3(x+2)<5-x. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$\dfrac{6x+1}{6}-\dfrac{5x-1}{5}>-1,$$
$$30\left(\dfrac{6x+1}{6}-\dfrac{5x-1}{5}\right)>-30,$$
$$5(6x+1)-6(5x-1)>-30,$$
$$30x+5-30x+6>-30,$$
$$11>-30.$$
Это верно при любом $x$.
Второе неравенство:
$$2(x+8)-3(x+2)<5-x,$$ $$2x+16-3x-6<5-x,$$ $$10-x<5-x,$$ $$10<5.$$
Это неверно ни при каком $x$.
Следовательно, система не имеет решений:
$$\varnothing.$$

Функция $$y=f(x)$$ убывает. Рассмотрим преобразования:

$$y=3f(x).$$
Умножение значений функции на положительное число не меняет её монотонность, значит функция убывает.
$$y=\dfrac13 f(x).$$
Умножение значений функции на положительное число также не меняет монотонность, значит функция убывает.
$$y=-f(x).$$
Умножение значений функции на отрицательное число меняет монотонность на противоположную, значит функция возрастает.