Упр.177 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) {x+y-xy=1, xy(x+y)=20}; 3) {x/y+6y/x=5, x^2+4xy-3y^2=18};
2) {y/x-x/y=21/10, x+y=3}; 4) {1/x+1/y=5/6, 1/x-1/y=1/6}.
Укажите на рисунке 14 изображение множества решений системы неравенств
система
x > -1,
х <= 6.

1. Пусть $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда из системы получаем:
   $$a-b=1,$$
   $$ab=20.$$
   Подставим $$b=a-1$$:
   $$ a(a-1)=20 $$
   $$ a^2-a-20=0 $$
   $$ (a-5)(a+4)=0 $$
   Значит, $$a=5$$ или $$a=-4$$.

   Если $$a=5$$, то $$b=4$$. Тогда
   $$ x+y=5,\quad xy=4. $$
   Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$ t^2-5t+4=0, $$
   откуда $$t=1$$ или $$t=4$$. Получаем пары:
   $$ (1;4),\ (4;1). $$

   Если $$a=-4$$, то $$b=-5$$. Тогда
   $$ x+y=-4,\quad xy=-5. $$
   Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$ t^2+4t-5=0, $$
   откуда $$t=1$$ или $$t=-5$$. Получаем пары:
   $$ (1;-5),\ (-5;1). $$

2. Пусть $$a=\dfrac{y}{x}$$. Тогда
   $$ a-\frac{1}{a}=\frac{21}{10}, $$
   $$ 10a^2-21a-10=0. $$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$ D=21^2+4\cdot 10\cdot 10=841, $$
   $$ a=\frac{21\pm 29}{20}. $$
   Отсюда
   $$ a_1=-\frac{2}{5},\quad a_2=\frac{5}{2}. $$

   Если $$\dfrac{y}{x}=-\dfrac{2}{5}$$, то $$y=-\dfrac{2}{5}x$$ и
   $$ x+y=3 \Rightarrow x-\frac{2}{5}x=3 \Rightarrow \frac{3}{5}x=3 \Rightarrow x=5,\ y=-2. $$
   Если $$\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{2}$$, то $$y=\dfrac{5}{2}x$$ и
   $$ x+\frac{5}{2}x=3 \Rightarrow \frac{7}{2}x=3 \Rightarrow x=\frac{6}{7},\ y=\frac{15}{7}. $$

3. Пусть $$a=\dfrac{x}{y}$$. Тогда
   $$ a+\frac{6}{a}=5, $$
   $$ a^2-5a+6=0. $$
   Получаем:
   $$ (a-2)(a-3)=0, $$
   значит, $$a=2$$ или $$a=3$$.

   Если $$\dfrac{x}{y}=2$$, то $$x=2y$$ и
   $$ x^2+4xy-3y^2=18 $$
   $$ (2y)^2+4\cdot 2y\cdot y-3y^2=18 $$
   $$ 9y^2=18 \Rightarrow y^2=2. $$
   Тогда
   $$ y=\pm \sqrt{2},\quad x=\pm 2\sqrt{2}. $$
   Если $$\dfrac{x}{y}=3$$, то $$x=3y$$ и
   $$ (3y)^2+4\cdot 3y\cdot y-3y^2=18 $$
   $$ 18y^2=18 \Rightarrow y^2=1. $$
   Тогда
   $$ y=\pm 1,\quad x=\pm 3. $$

4. Обозначим
   $$ u=\frac{1}{x},\quad v=\frac{1}{y}. $$
   Тогда система принимает вид:
   $$ u+v=\frac{5}{6}, $$
   $$ u-v=\frac{1}{6}. $$
   Складываем уравнения:
   $$ 2u=1 \Rightarrow u=\frac{1}{2}. $$
   Тогда
   $$ \frac{1}{2}-v=\frac{1}{6} \Rightarrow v=\frac{1}{3}. $$
   Значит,
   $$ x=2,\quad y=3. $$

Ответ

1) $$(-5;1),\ (1;-5),\ (1;4),\ (4;1)$$;
2) $$(5;-2),\ \left(\frac{6}{7};\frac{15}{7}\right)$$;
3) $$(-2\sqrt{2};-\sqrt{2}),\ (3;1),\ (2\sqrt{2};\sqrt{2}),\ (-3;-1)$$;
4) $$(2;3)$$.

Множество решений системы неравенств $$x>-1,\ x\le 6$$:
$$x\in(-1;6]$$, поэтому на рисунке подходит б).