Упр.142 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) (3x-1)^4-20(3x-1)^2+64=0;
2) (2x+3)^4-24(2x+3)^2-25=0. При каких значениях а уравнение:
1) х^2 + 3x — а = 0 не имеет корней;
2) 2x^2 — 8x + 5а = 0 имеет хотя бы один действительный корень?

1. Положим $$y=(3x-1)^2.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$y^2-20y+64=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=20^2-4\cdot 64=400-256=144,$$

   $$y_{1,2}=\frac{20\pm 12}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=4,\quad y_2=16.$$

   1) Если $$ (3x-1)^2=4,$$ то

   $$3x-1=\pm 2,$$

   $$x=1,\quad x=-\frac13.$$

   2) Если $$ (3x-1)^2=16,$$ то

   $$3x-1=\pm 4,$$

   $$x=\frac53,\quad x=-1.$$

2. Положим $$y=(2x+3)^2.$$ Тогда

   $$y^2-24y-25=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=24^2+4\cdot 25=576+100=676,$$

   $$y_{1,2}=\frac{24\pm 26}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=-1,\quad y_2=25.$$

   Значение $$y=-1$$ не подходит, так как квадрат не может быть отрицательным.

   Остаётся

   $$ (2x+3)^2=25,$$

   $$2x+3=\pm 5,$$

   $$x=1,\quad x=-4.$$

3. Для уравнения $$x^2+3x-a=0$$ корней нет, если дискриминант отрицателен:

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-a)=9+4a<0.$$

   Тогда

   $$4a<-9,\quad a<-\frac94.$$

4. Для уравнения $$2x^2-8x+5a=0$$ хотя бы один действительный корень существует, если

   $$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 5a=64-40a\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$40a\le 64,\quad a\le \frac85.$$

Ответ

1) $$x=-1,\; -\frac13,\; 1,\; \frac53.$$

2) $$x=-4,\; 1.$$

3) $$a\in\left(-\infty;\,-\frac94\right).$$

4) $$a\in\left(-\infty;\,\frac85\right].$$