Упр.983 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 983. Решите неравенство: а) v(xv(xvx)) < 128^(1/8); б) v(2x+2v(x^2-9)) > v(x-3).

а) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}<\sqrt[8]{128}.$$

Представим левую часть в виде степени числа $x$:

$$ \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = \sqrt{x\cdot x^{1/2}\cdot x^{1/4}} = \sqrt{x^{1+1/2+1/4}} = \sqrt{x^{7/4}} = x^{7/8}. $$

Тогда неравенство принимает вид

$$ x^{7/8}<128^{1/8}. $$

Возводим обе части в 8-ю степень. Так как $x\ge 0$, знак неравенства не меняется:

$$ x^7<128. $$

Отсюда

$$ x<2. $$

С учётом области определения $x\ge 0$ получаем:

$$ x\in[0;2). $$

б) $$\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-9}}>\sqrt{x-3}.$$

Область определения:

$$ x^2-9\ge 0,\quad x-3\ge 0. $$

Следовательно, $$x\ge 3.$$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$$ 2x+2\sqrt{x^2-9}>x-3. $$

Перенесём:

$$ 2\sqrt{x^2-9}>-x-3. $$

При $$x\ge 3$$ правая часть неположительна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x\ge 3.$$

Проверим это через преобразования:

$$ 4(x^2-9)>x^2+6x+9 $$
$$ 3x^2-6x-45>0 $$
$$ x^2-2x-15>0 $$
$$ (x+3)(x-5)>0. $$

Отсюда

$$ x<-3 \quad \text{или} \quad x>5. $$

С учётом области определения $$x\ge 3$$ остаётся

$$ x>5. $$

Но при $$3\le x\le 5$$ исходное неравенство также выполняется, так как левая часть не меньше правой. Поэтому окончательно:

$$ x\in[3;+\infty). $$

Ответ

а) $$[0;2)$$; б) $$[3;+\infty)$$.