Упр.971 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^2-6x+9)^(0,5)+(x^2-2x+1)^(0,5)=4;
б) v(x+2-4v(x-2))=1.

а)

$$ (x^2-6x+9)^{0,5}+(x^2-2x+1)^{0,5}=4 $$
$$ \sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(x-1)^2}=4 $$
$$ |x-3|+|x-1|=4 $$
Рассмотрим случаи.

1) Если $$x\le 1$$, то
$$ 3-x+1-x=4 $$
$$ 2x=0,\quad x=0. $$

2) Если $$1<x\le 3$$, то
$$ 3-x+x-1=4 $$
$$ 2=4, $$
что невозможно.

3) Если $$x>3$$, то
$$ x-3+x-1=4 $$
$$ 2x=8,\quad x=4. $$

Следовательно, для первого уравнения получаем $$x=0$$ и $$x=4$$.

б)

$$ \sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}=1 $$
Область определения: $$x\ge 2$$.

Возведём обе части в квадрат:
$$ x+2-4\sqrt{x-2}=1 $$
$$ x+1=4\sqrt{x-2} $$
Удобно сделать замену $$t=\sqrt{x-2}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2+2$$. Получаем:
$$ t^2+2+2-4t=1 $$
$$ t^2-4t+3=0 $$
$$ (t-1)(t-3)=0 $$
$$ t=1 \text{ или } t=3. $$
Тогда
$$ \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3, $$
$$ \sqrt{x-2}=3 \Rightarrow x=11. $$
Оба значения подходят.

Ответ

а) $$0; 4$$
б) $$3; 11$$