Упр.95 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

g(x)=(x/(x-1)+x/(x+1))/(4/(x^2-1)).

Упростим заданную функцию:

$$ g(x)=\frac{\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{4}{x^2-1}} $$

Сложим дроби в числителе:

$$ \frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1} =\frac{x(x+1)+x(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{x^2+x+x^2-x}{x^2-1} =\frac{2x^2}{x^2-1} $$

Тогда

$$ g(x)=\frac{\dfrac{2x^2}{x^2-1}}{\dfrac{4}{x^2-1}} =\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{4} =\frac{x^2}{2} $$

Но исходное выражение определено не при всех значениях $x$, а только там, где знаменатели не обращаются в нуль:

$$ x-1\ne 0,\quad x+1\ne 0,\quad x^2-1\ne 0 $$

Отсюда

$$ x\ne -1,\quad x\ne 1 $$

Значит, область определения:

$$ D(g)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty) $$

График функции совпадает с графиком параболы $$y=\frac{x^2}{2}$$, но точки при $$x=-1$$ и $$x=1$$ выколоты, так как в этих точках исходная функция не определена. Соответствующие значения:

$$ g(-1)=g(1)=\frac{1}{2} $$

Поэтому на параболе нужно отметить выколотые точки $$(-1;\tfrac12)$$ и $$(1;\tfrac12)$$.

Ответ

$$ D(g)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty) $$

График — парабола $$y=\frac{x^2}{2}$$ с выколотыми точками $$(-1;\tfrac12)$$ и $$(1;\tfrac12)$$.