Упр.782 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 782. Три числа, дающие в сумме 39, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Если из первого и второго вычесть по 1, а к третьему прибавить 5, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть три числа, образующие возрастающую арифметическую прогрессию, равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$

По условию их сумма равна $$39$$, значит

$$ (a-d)+a+(a+d)=39 $$

$$ 3a=39 $$

$$ a=13. $$

Тогда исходные числа: $$13-d,\ 13,\ 13+d.$$

После преобразования получаем числа $$12-d,\ 12,\ 18+d.$$ Они образуют геометрическую прогрессию, значит квадрат среднего равен произведению крайних:

$$ 12^2=(12-d)(18+d). $$

Раскроем скобки:

$$ 144=216+12d-18d-d^2 $$

$$ d^2+6d-72=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=6^2+4\cdot 72=36+288=324, $$

$$ d=\frac{-6\pm 18}{2}. $$

Получаем $$d=6$$ или $$d=-12$$. Так как прогрессия возрастающая, берём $$d=6$$.

Тогда искомые числа:

$$ 13-6=7,\quad 13,\quad 13+6=19. $$

Ответ

$$7,\ 13,\ 19$$