Упр.757 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {xy+2x^2+2y^2=120, xy-x^2-y^2=-39};
б) {x^2+4xy=5, y^2-6xy=31}.

а) Из второго уравнения системы получаем:

$$xy-x^2-y^2=-39 \;\Rightarrow\; x^2+y^2=xy+39.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$xy+2x^2+2y^2=120$$

$$xy+2(x^2+y^2)=120$$

$$xy+2(xy+39)=120$$

$$3xy+78=120$$

$$3xy=42,\quad xy=14.$$

Теперь из равенства $$x^2+y^2=xy+39$$ получаем:

$$x^2+y^2=53.$$

Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-(x+y)t+xy=0,$$

а удобнее найти их через сумму и произведение. Имеем:

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,$$

$$53=(x+y)^2-28,$$

$$ (x+y)^2=81,\quad x+y=\pm 9.$$

При $$xy=14$$ получаем пары чисел:

$$x=2,\ y=7;\quad x=7,\ y=2;\quad x=-2,\ y=-7;\quad x=-7,\ y=-2.$$

б) Сложим уравнения системы:

$$x^2+4xy+y^2-6xy=5+31,$$

$$x^2-2xy+y^2=36,$$

$$ (x-y)^2=36,$$

$$x-y=\pm 6.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$x-y=6,\quad y=x-6.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+4x(x-6)=5,$$

$$5x^2-24x-5=0.$$

$$D=24^2+4\cdot 5\cdot 5=576+100=676,$$

$$x=\frac{24\pm 26}{10}.$$

Отсюда:

$$x=5,\ y=-1;\quad x=-0{,}2,\ y=-6{,}2.$$

2) $$x-y=-6,\quad y=x+6.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+4x(x+6)=5,$$

$$5x^2+24x-5=0.$$

$$D=24^2+4\cdot 5\cdot 5=676,$$

$$x=\frac{-24\pm 26}{10}.$$

Отсюда:

$$x=-5,\ y=1;\quad x=0{,}2,\ y=6{,}2.$$

Ответ

а) $$(-2;\,-7),\ (2;\,7),\ (-7;\,-2),\ (7;\,2).$$

б) $$(-0{,}2;\,-6{,}2),\ (5;\,-1),\ (-5;\,1),\ (0{,}2;\,6{,}2).$$