Упр.713 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) a_2, a_4, a_6, …, a_(2n), …; в) a_1^2, a_2^2, a_3^2, …, a_n^2, …;
б) -a_1, -a_2, -a_4, …, -a_n, …; г) ma_1, ma_2, ma_3, …, ma_n, …;
д) a_1+1, a_2+2, a_3+3, …, a_n+n, …; е) 1/a_1, 1/a_2, 1/a_3, …, 1/a_n, …?

Подробный ответ

Пусть $$a_n=a_1+d(n-1)=a_1+dn-d$$ — общий член арифметической прогрессии.

$$a_2,\ a_4,\ a_6,\ldots,\ a_{2n},\ldots$$
Найдём разность:
$$a_{2n}=a_1+d(2n-1)=a_1+2dn-d,$$
$$a_{2n+2}=a_1+d(2n+1)=a_1+2dn+d.$$
$$a_{2n+2}-a_{2n}=2d.$$
Значит, это арифметическая прогрессия с разностью $$2d$$.
$$-a_1,\ -a_2,\ -a_3,\ldots,\ -a_n,\ldots$$
$$-a_n=-(a_1+dn-d)=-a_1-dn+d,$$
$$-a_{n+1}=-(a_1+dn)=-a_1-dn.$$
$$-a_{n+1}-(-a_n)=-d.$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$-d$$.
$$a_1^2,\ a_2^2,\ a_3^2,\ldots,\ a_n^2,\ldots$$
$$a_n^2=(a_1+dn-d)^2,$$
$$a_{n+1}^2=(a_1+dn)^2.$$
Разность соседних членов зависит от $$n$$, поэтому это не арифметическая прогрессия.
$$ma_1,\ ma_2,\ ma_3,\ldots,\ ma_n,\ldots$$
$$ma_n=m(a_1+dn-d),$$
$$ma_{n+1}=m(a_1+dn).$$
$$ma_{n+1}-ma_n=md.$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$md$$.
$$a_1+1,\ a_2+2,\ a_3+3,\ldots,\ a_n+n,\ldots$$
$$a_n+n=a_1+dn-d+n,$$
$$a_{n+1}+(n+1)=a_1+dn+n+1.$$
$$\bigl(a_{n+1}+n+1\bigr)-\bigl(a_n+n\bigr)=d+1.$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$d+1$$.
$$\frac1{a_1},\ \frac1{a_2},\ \frac1{a_3},\ldots,\ \frac1{a_n},\ldots$$
$$\frac1{a_n}=\frac1{a_1+dn-d},\qquad \frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_1+dn}.$$
$$\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n}=\frac{d}{(a_1+dn)(a_1+dn-d)}.$$
Эта разность зависит от $$n$$, значит, последовательность не является арифметической.