Упр.706 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 706. Докажите, что при делении на 18 любого члена последовательности (a_n), заданной формулой a_n=7^n+12n, в остатке получается 1.

Докажем по индукции, что при делении на $$18$$ любого члена последовательности $$a_n=7^n+12n$$ в остатке получается $$1$$, то есть $$a_n \equiv 1 \pmod{18}$$.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$a_1=7^1+12\cdot 1=7+12=19=18\cdot 1+1.$$

Значит, утверждение верно для $$n=1$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$k$$ верно

$$a_k=7^k+12k \equiv 1 \pmod{18}.$$

Докажем, что тогда и $$a_{k+1} \equiv 1 \pmod{18}$$.

Имеем

$$ a_{k+1}=7^{k+1}+12(k+1)=7\cdot 7^k+12k+12. $$

Вычтем $$a_k$$:

$$ a_{k+1}-a_k=7^{k+1}+12k+12-(7^k+12k)=6\cdot 7^k+12=6(7^k+2). $$

Покажем, что это число делится на $$18$$. Достаточно доказать, что $$7^k+2$$ делится на $$3$$. Так как

$$7 \equiv 1 \pmod{3},$$

то

$$7^k \equiv 1 \pmod{3},$$

следовательно,

$$7^k+2 \equiv 1+2=3 \equiv 0 \pmod{3}.$$

Значит, $$7^k+2$$ делится на $$3$$, а потому $$6(7^k+2)$$ делится на $$18$$. Тогда

$$a_{k+1} \equiv a_k \equiv 1 \pmod{18}.$$

Следовательно, утверждение верно для всех натуральных $$n$$.

Ответ

При делении $$a_n=7^n+12n$$ на $$18$$ всегда получается остаток $$1$$.