Упр.691 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 691. Выведите формулу суммы первых n нечётных натуральных чисел.

Обозначим сумму первых $$n$$ нечётных натуральных чисел через $$S_n$$:

$$S_n=1+3+5+\dots+(2n-1).$$

Проверим несколько первых случаев:

$$S_1=1,$$

$$S_2=1+3=4,$$

$$S_3=1+3+5=9,$$

$$S_4=1+3+5+7=16.$$

Замечаем закономерность:

$$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$

Докажем это по индукции. Для $$n=1$$ имеем:

$$S_1=1=1^2.$$

Пусть для некоторого $$k$$ верно:

$$S_k=k^2.$$

Тогда

$$S_{k+1}=S_k+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2.$$

Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$S_n=1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$