Упр.623 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 623. В прямоугольный треугольник вписан квадрат со стороной 2 см так. что одна его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а остальные лежат по одной на каждой из сторон. Найдите катеты треугольника, если один из них больше другого на 3 см.

Пусть $$x$$ см — меньший катет прямоугольного треугольника. Тогда больший катет равен $$x+3$$ см.

Обозначим вершину прямого угла через $$C$$, а катеты — $$AC$$ и $$BC$$. Тогда

$$AC=x,\qquad BC=x+3.$$

Сторона квадрата равна $$2$$ см. Рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$ABC$$. Они подобны, так как

$$\angle BCA=\angle EDA,\qquad \angle CAB=\angle DAE.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}.$$

Так как $$DE=2$$, $$AD=AC-2=x-2$$, то

$$\frac{2}{x+3}=\frac{x-2}{x}.$$

Решим уравнение:

$$ 2x=(x+3)(x-2) \\ 2x=x^2-2x+3x-6 \\ x^2-x-6=0 $$

$$ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25 $$

$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2} $$

Получаем $$x_1=-2$$ и $$x_2=3$$. Значение $$x=-2$$ не подходит, так как длина катета должна быть положительной. Значит,

$$x=3.$$

Тогда второй катет:

$$x+3=6.$$

Ответ

$$3\text{ см},\ 6\text{ см}.$$