Упр.611 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x^2+y^2-16=2xy, x^2+y^2-4=-2xy}; в) {4x^2+y^2+4xy=49, 4x^2+y^2-4xy=81};
б) {x^2+y^2-2xy=49, x^2+y^2+2xy=9}; г) {9x^2+4y^2=64+12xy, 9x^2+4y^2=16-12xy}.

1. а)

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$\left(x^2+y^2-16\right)-\left(x^2+y^2-4\right)=2xy-(-2xy)$$
   $$-12=4xy,\quad xy=-3.$$

   Сложим уравнения:
   $$2x^2+2y^2-20=0,$$
   $$x^2+y^2=10.$$

   Тогда
   $$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2=10-6=4,$$
   значит,
   $$x+y=\pm 2.$$

   Решаем системы:
   $$\begin{cases}x+y=2\\xy=-3\end{cases}\quad \Rightarrow \quad x=3,\ y=-1 \ \text{или}\ x=-1,\ y=3,$$
   $$\begin{cases}x+y=-2\\xy=-3\end{cases}\quad \Rightarrow \quad x=1,\ y=-3 \ \text{или}\ x=-3,\ y=1.$$

2. б)

   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$\left(x^2+y^2+2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)=9-49,$$
   $$4xy=-40,\quad xy=-10.$$

   Сложим уравнения:
   $$2x^2+2y^2=58,$$
   $$x^2+y^2=29.$$

   Тогда
   $$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2=29-20=9,$$
   значит,
   $$x+y=\pm 3.$$

   Решаем системы:
   $$\begin{cases}x+y=3\\xy=-10\end{cases}\Rightarrow x=5,\ y=-2 \ \text{или}\ x=-2,\ y=5,$$
   $$\begin{cases}x+y=-3\\xy=-10\end{cases}\Rightarrow x=2,\ y=-5 \ \text{или}\ x=-5,\ y=2.$$

3. в)

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$\left(4x^2+y^2+4xy\right)-\left(4x^2+y^2-4xy\right)=49-81,$$
   $$8xy=-32,\quad xy=-4.$$

   Сложим уравнения:
   $$8x^2+2y^2=130,$$
   $$4x^2+y^2=65.$$

   Тогда
   $$\left(2x+y\right)^2=4x^2+4xy+y^2=65-16=49,$$
   значит,
   $$2x+y=\pm 7.$$

   Решаем системы:
   $$\begin{cases}2x+y=7\\xy=-4\end{cases}\Rightarrow x=4,\ y=-1 \ \text{или}\ x=-\frac12,\ y=8,$$
   $$\begin{cases}2x+y=-7\\xy=-4\end{cases}\Rightarrow x=-4,\ y=1 \ \text{или}\ x=\frac12,\ y=-8.$$

4. г)

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$\left(9x^2+4y^2\right)-\left(9x^2+4y^2\right)=\left(64+12xy\right)-\left(16-12xy\right),$$
   $$0=48+24xy,\quad xy=-2.$$

   Сложим уравнения:
   $$18x^2+8y^2=80,$$
   $$9x^2+4y^2=40.$$

   Тогда
   $$\left(3x+2y\right)^2=9x^2+12xy+4y^2=40-24=16,$$
   значит,
   $$3x+2y=\pm 4.$$

   Решаем системы:
   $$\begin{cases}3x+2y=4\\xy=-2\end{cases}\Rightarrow x=2,\ y=-1 \ \text{или}\ x=-\frac23,\ y=3,$$
   $$\begin{cases}3x+2y=-4\\xy=-2\end{cases}\Rightarrow x=-2,\ y=1 \ \text{или}\ x=\frac23,\ y=-3.$$

Ответ

а) $$(-1; 3),\ (1; -3),\ (-3; 1),\ (3; -1)$$

б) $$(-2; 5),\ (2; -5),\ (-5; 2),\ (5; -2)$$

в) $$\left(-\frac12; 8\right),\ \left(\frac12; -8\right),\ (-4; 1),\ (4; -1)$$

г) $$\left(-\frac23; 3\right),\ \left(\frac23; -3\right),\ (-2; 1),\ (2; -1)$$