Упр.559 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 559. Опишите с помощью неравенства множество точек, лежащих внутри параболы, проходящей через точки (2; —1), (—1; 5) и (1; —3). если ось симметрии параболы параллельна: а) оси x; б) оси y.

а) Ось симметрии параллельна оси x. Тогда уравнение параболы имеет вид

$$x=ay^2+by+c.$$

Подставим данные точки:

$$ \begin{cases} 2=a-b+c,\\ -1=9a-3b+c,\\ 1=a+b+c. \end{cases} $$

Из первого и третьего уравнений:

$$2-a+b=1-a-b \Rightarrow 2b=-1 \Rightarrow b=-\frac12.$$

Тогда из первого уравнения

$$c=2-a+\frac12=\frac52-a.$$

Подставим во второе:

$$-1=9a-3\left(-\frac12\right)+\frac52-a,$$

$$-1=8a+4,$$

$$a=-\frac58.$$

Тогда

$$c=\frac52+\frac58=\frac{25}{8}.$$

Следовательно, уравнение границы:

$$x=-\frac58y^2-\frac12y+\frac{25}{8}.$$

Множество точек, лежащих внутри параболы, задаётся неравенством

$$x<-\frac58y^2-\frac12y+\frac{25}{8}.$$

Умножим на $8$:

$$8x<-5y^2-4y+25,$$

или

$$5y^2+4y+8x-25<0.$$

б) Ось симметрии параллельна оси y. Тогда уравнение параболы имеет вид

$$y=ax^2+bx+c.$$

Подставим точки:

$$ \begin{cases} -1=4a+2b+c,\\ 5=a-b+c,\\ -3=a+b+c. \end{cases} $$

Из второго и третьего уравнений:

$$5-(-3)=a-b+c-(a+b+c),$$

$$8=-2b,$$

$$b=-4.$$

Тогда из второго уравнения

$$c=5-a-(-4)=9-a.$$

Подставим в первое:

$$-1=4a+2(-4)+9-a,$$

$$-1=3a+1,$$

$$a=-\frac23.$$

Тогда

$$c=9+\frac23=\frac{29}{3}.$$

Следовательно, уравнение границы:

$$y=-\frac23x^2-4x+\frac{29}{3}.$$

Так как требуется множество точек внутри параболы, получаем

$$y<-\frac23x^2-4x+\frac{29}{3}.$$

Умножим на $3$:

$$3y<-2x^2-12x+29,$$

или

$$2x^2+12x+3y-29<0.$$

Ответ

а) $$5y^2+4y+8x-25<0.$$

б) $$2x^2+12x+3y-29<0.$$