Упр.515 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 515. На двух смежных сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь одного из них на 24 см^2 больше площади другого. Найдите длину и ширину прямоугольника, если его площадь равна 35 см^2.

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию площадь прямоугольника:

$$xy=35.$$

Площади квадратов, построенных на этих сторонах, равны $$x^2$$ и $$y^2$$. Так как площадь одного квадрата на $$24$$ см² больше площади другого, получаем:

$$y^2=x^2+24.$$

Из уравнения $$xy=35$$ выразим $$y$$:

$$y=\frac{35}{x}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\left(\frac{35}{x}\right)^2=x^2+24.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$1225=x^4+24x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^4+24x^2-1225=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:

$$t^2+24t-1225=0.$$

Найдём корни:

$$D=24^2+4\cdot1225=576+4900=5476,$$

$$\sqrt{D}=74.$$

Тогда

$$t=\frac{-24\pm74}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=25,\quad t_2=-49.$$

Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=25$$. Значит,

$$x^2=25,\quad x=5.$$

Тогда

$$y=\frac{35}{5}=7.$$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$5$$ см и $$7$$ см.

Ответ

$$7\text{ см и }5\text{ см}.$$