Упр.497 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=v(x^3-4x^2+3x-12); б) y=v(x^3+x-2).

а) Для существования корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x^3-4x^2+3x-12\ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2(x-4)+3(x-4)\ge 0,$$

$$\left(x^2+3\right)(x-4)\ge 0.$$

Так как $$x^2+3>0$$ при любом $$x,$$ то неравенство равносильно:

$$x-4\ge 0,$$

$$x\ge 4.$$

Следовательно, область определения:

$$[4;+\infty).$$

б) Аналогично, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^3+x-2\ge 0.$$

Разложим многочлен на множители. Проверим корень $$x=1$$:

$$1^3+1-2=0.$$

Значит, $$x-1$$ — множитель:

$$x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2).$$

Квадратный трёхчлен $$x^2+x+2$$ всегда положителен, так как

$$D=1-8=-7<0,$$

а старший коэффициент положителен.

Поэтому неравенство равносильно:

$$x-1\ge 0,$$

$$x\ge 1.$$

Следовательно, область определения:

$$[1;+\infty).$$

Ответ

а) $$[4;+\infty)$$; б) $$[1;+\infty).$$