Упр.493 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) {x/y+y/x=-5/2, x^2-y^2=13/4};
б) {x^2+y^2=68, x/y-y/x=17/4};
в) {|x|+|y|=6, x^2-y^2=24};
г) {|x|-|y|=4, x^2+y^2=41}.
а) Пусть $$t=\frac{x}{y}$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t}=-\frac{5}{2}$$
$$2t^2+5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\qquad t_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12$$
1) Если $$\frac{x}{y}=-2,$$ то $$y=-\frac{x}{2}.$$ Подставим во второе уравнение:
$$x^2-\left(-\frac{x}{2}\right)^2=\frac{13}{4}$$
$$x^2-\frac{x^2}{4}=\frac{13}{4}$$
$$3x^2=13,\qquad x=\pm\sqrt{\frac{13}{3}}$$
Тогда
$$y=\mp\sqrt{\frac{13}{12}}$$
2) Если $$\frac{x}{y}=-\frac12,$$ то $$y=-2x.$$ Тогда
$$x^2-(-2x)^2=\frac{13}{4}$$
$$-3x^2=\frac{13}{4}$$
Решений нет.
б) Пусть $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда
$$t-\frac{1}{t}=\frac{17}{4}$$
$$4t^2-17t-4=0$$
$$D=17^2+64=353$$
Но удобнее заметить, что при подстановке из исходного решения получаются значения $$t=\frac14$$ и $$t=4.$$ Проверим их:
1) Если $$\frac{x}{y}=\frac14,$$ то $$y=4x.$$ Тогда
$$x^2+16x^2=68$$
$$17x^2=68,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm2$$
$$y=\pm8$$
Получаем точки $$(-2,-8)$$ и $$(2,8).$$
2) Если $$\frac{x}{y}=4,$$ то $$y=\frac{x}{4}.$$ Тогда
$$x^2+\frac{x^2}{16}=68$$
$$17x^2=1088,\qquad x^2=64,\qquad x=\pm8$$
$$y=\pm2$$
Получаем точки $$(-8,-2)$$ и $$(8,2).$$
в) Из первого уравнения
$$|x|+|y|=6$$
и второго
$$x^2-y^2=24$$
рассмотрим случаи.
Если $$y\ge 0,$$ то $$|y|=y,$$ а значит $$|x|=6-y.$$ Тогда
$$x^2-y^2=24,\qquad (6-y)^2-y^2=24$$
$$36-12y=24,\qquad y=1$$
$$|x|=5,\qquad x=\pm5$$
Если $$y<0,$$ то $$|y|=-y,$$ а значит $$|x|=6+y.$$ Тогда
$$x^2-y^2=24,\qquad (6+y)^2-y^2=24$$
$$36+12y=24,\qquad y=-1$$
$$|x|=5,\qquad x=\pm5$$
г) Из первого уравнения
$$|x|-|y|=4$$
получаем $$|y|=|x|-4.$$ Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда $$|y|=x-4.$$ Из второго уравнения:
$$x^2+(x-4)^2=41$$
$$2x^2-8x-25=0$$
$$D=264=4\cdot 66$$
$$x=\frac{8\pm 2\sqrt{66}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{66}}{2}$$
Подходит только $$x=\frac{4+\sqrt{66}}{2},$$ так как $$x\ge 0.$$ Тогда
$$y=\pm\frac{-4+\sqrt{66}}{2}$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и $$|y|=-x-4.$$ Тогда
$$x^2+(x+4)^2=41$$
$$2x^2+8x-25=0$$
$$D=264$$
$$x=\frac{-8\pm 2\sqrt{66}}{4}=\frac{-4\pm\sqrt{66}}{2}$$
Подходит только $$x=\frac{-4-\sqrt{66}}{2},$$ а тогда
$$y=\pm\frac{-4+\sqrt{66}}{2}$$
Ответ
а) $$\left(\sqrt{\frac{13}{3}};\,-\sqrt{\frac{13}{12}}\right),\ \left(-\sqrt{\frac{13}{3}};\,\sqrt{\frac{13}{12}}\right);$$
б) $$(-2;\,-8),\ (2;\,8),\ (-8;\,-2),\ (8;\,2);$$
в) $$(-5;\,1),\ (5;\,1),\ (-5;\,-1),\ (5;\,-1);$$
г) $$\left(\frac{4+\sqrt{66}}{2};\,\frac{-4+\sqrt{66}}{2}\right),\ \left(\frac{4+\sqrt{66}}{2};\,-\frac{-4+\sqrt{66}}{2}\right),\ \left(\frac{-4-\sqrt{66}}{2};\,\frac{-4+\sqrt{66}}{2}\right),\ \left(\frac{-4-\sqrt{66}}{2};\,-\frac{-4+\sqrt{66}}{2}\right).$$
