Упр.469 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {y+12x=2x^2+14, x+2=y}; б) {x(x-2)=y+12x, xy-5=0}?

а) Из второго уравнения системы получаем:

$$y=x+2.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x+2+12x=2x^2+14$$

$$2x^2-13x+12=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-13)^2-4\cdot 2\cdot 12=169-96=73.$$

Так как $$D>0,$$ квадратное уравнение имеет два различных корня, значит система имеет 2 решения.

б) Из второго уравнения системы:

$$xy=5,\qquad y=\frac{5}{x},\qquad x\ne 0.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x(x-2)=\frac{5}{x}+12x.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^3-2x^2=5+12x^2$$

$$x^3-14x^2-5=0.$$

Проверим целые корни. При $$x=15$$:

$$15^3-14\cdot 15^2-5=3375-3150-5=220\ne 0,$$

при $$x=-1$$:

$$(-1)^3-14\cdot (-1)^2-5=-1-14-5=-20\ne 0.$$

Заметим, что при $$x>0$$ из уравнения $$xy=5$$ следует $$y>0,$$ а из первого уравнения после подстановки получаем единственное положительное решение. Следовательно, система имеет 1 решение.

Ответ

а) 2 решения; б) 1 решение.