Упр.467 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {2x^2+y^2=x+5y, x^2-2y^2=y-17}; б) {x-2y^2=2y, 3x-5y-7=0}?

а) Проверим пары вида $$ (2; y) $$ и $$ (x; 1). $$

Если $$x=2,$$ то система принимает вид:

$$ \begin{cases} 8+y^2=2+5y,\\ 4-2y^2=y-17. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ y^2-5y+6=0, $$
$$ (y-2)(y-3)=0, $$
$$ y=2 \text{ или } y=3. $$

Из второго уравнения:

$$ 4-2y^2=y-17, $$
$$ 2y^2+y-21=0. $$

Найдём корни:

$$ D=1+168=169, $$
$$ y=\frac{-1\pm 13}{4}, $$
$$ y=3 \text{ или } y=-\frac{7}{2}. $$

Общий корень для обоих уравнений: $$y=3.$$ Значит, подходит пара $$ (2;3). $$

Если $$y=1,$$ то:

$$ x^2-2=1-17, $$
$$ x^2=-14, $$

что невозможно в действительных числах. Значит, пар вида $$ (x;1) $$ решений нет.

б) Проверим пары вида $$ (2; y) $$ и $$ (x; 1). $$

Если $$x=2,$$ то:

$$ \begin{cases} 2-2y^2=2y,\\ 6-5y-7=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ -5y-1=0, $$
$$ y=-\frac{1}{5}. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2-2\left(-\frac{1}{5}\right)^2=2\left(-\frac{1}{5}\right), $$
$$ 2-\frac{2}{25}=-\frac{2}{5}, $$
что неверно. Значит, пар вида $$ (2; y) $$ решений нет.

Если $$y=1,$$ то:

$$ x-2=2, $$
$$ 3x-5-7=0. $$

Отсюда:

$$ x=4, $$
и проверка во втором уравнении даёт:

$$ 3\cdot 4-12=0. $$

Следовательно, подходит пара $$ (4;1). $$

Ответ

а) $$ (2;3) $$; б) $$ (4;1). $$