Упр.388 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1 < (3x-1)/(x+2) < 3; б) -1 < (x-2)/(x+3) < 1.

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$ 1<\frac{3x-1}{x+2}<3 $$

Это равносильно двум неравенствам:

$$ \frac{3x-1}{x+2}>1 $$

$$ \frac{3x-1}{x+2}<3 $$

Решим первое:

$$ \frac{3x-1}{x+2}-1>0 $$

$$ \frac{3x-1-x-2}{x+2}>0 $$

$$ \frac{2x-3}{x+2}>0 $$

Отсюда:

$$ x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac{3}{2} $$

Решим второе:

$$ \frac{3x-1}{x+2}-3<0 $$

$$ \frac{3x-1-3x-6}{x+2}<0 $$

$$ \frac{-7}{x+2}<0 $$

$$ x>-2 $$

Пересекаем полученные множества:

$$ \left(x<-2 \ \text{или} \ x>\frac{3}{2}\right)\cap (x>-2)=x>\frac{3}{2} $$

б) Рассмотрим систему неравенств:

$$ -1<\frac{x-2}{x+3}<1 $$

Это равносильно двум неравенствам:

$$ \frac{x-2}{x+3}>-1 $$

$$ \frac{x-2}{x+3}<1 $$

Решим первое:

$$ \frac{x-2}{x+3}+1>0 $$

$$ \frac{x-2+x+3}{x+3}>0 $$

$$ \frac{2x+1}{x+3}>0 $$

Отсюда:

$$ x<-3 \quad \text{или} \quad x>-\frac{1}{2} $$

Решим второе:

$$ \frac{x-2}{x+3}-1<0 $$

$$ \frac{x-2-x-3}{x+3}<0 $$

$$ \frac{-5}{x+3}<0 $$

$$ x>-3 $$

Пересекаем полученные множества:

$$ \left(x<-3 \ \text{или} \ x>-\frac{1}{2}\right)\cap (x>-3)=x>-\frac{1}{2} $$

Ответ

а) $$\left(\frac{3}{2};+\infty\right)$$; б) $$\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)$$.