Упр.372 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 372. Решите уравнение ax^2+4x+1=0 с параметром a.

Рассмотрим уравнение

$$ax^2+4x+1=0.$$

Если $$a=0,$$ то уравнение становится линейным:

$$4x+1=0,$$

откуда

$$x=-\frac14.$$

Если $$a\ne 0,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot 1=16-4a=4(4-a).$$

Тогда

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{4(4-a)}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{4-a}}{a}.$$

Чтобы корни были действительными, нужно $$D\ge 0,$$ то есть

$$4-a\ge 0 \quad \Rightarrow \quad a\le 4.$$

При $$a=4$$ получаем один корень:

$$x=\frac{-2}{4}=-\frac12.$$

При $$a<4$$ и $$a\ne 0$$ уравнение имеет два корня:

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-a}}{a}.$$

Ответ

$$\begin{cases} a=0, & x=-\frac14;\\ a=4, & x=-\frac12;\\ a<4,\ a\ne 0, & x=\frac{-2\pm\sqrt{4-a}}{a};\\ a>4, & \text{корней нет}. \end{cases}$$