Упр.363 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) ax=a+6; д) ax+8x=a^2+6a-16;
б) c(c-2)x=c^2-4; е) b^2x-x=b^2+4b-5;
в) p^2x-3px=p^2-9; ж) cx+x(2-5c)=1-2c;
г) ax+5a=30+6x; з) (a^2+1)x+a(a-2x)=1.
а) $$ax=a+6$$
Если $$a=0$$, то получаем $$0=a+6$$, что невозможно. Значит, корней нет.
Если $$a\ne 0$$, то
$$x=\frac{a+6}{a}.$$
б) $$c(c-2)x=c^2-4$$
Разложим правую часть на множители:
$$c^2-4=(c-2)(c+2).$$
Тогда
$$c(c-2)x=(c-2)(c+2).$$
Если $$c=0$$, то корней нет. Если $$c=2$$, то уравнение принимает вид $$0=0$$, значит, любое число является корнем.
Если $$c\ne 0$$ и $$c\ne 2$$, то
$$x=\frac{(c-2)(c+2)}{c(c-2)}=\frac{c+2}{c}.$$
в) $$p^2x-3px=p^2-9$$
Вынесем общий множитель:
$$x(p^2-3p)=p^2-9.$$
Разложим на множители:
$$p^2-3p=p(p-3), \qquad p^2-9=(p-3)(p+3).$$
Тогда
$$xp(p-3)=(p-3)(p+3).$$
Если $$p=0$$, то корней нет. Если $$p=3$$, то уравнение тождественно верно, значит, любое число является корнем.
Если $$p\ne 0$$ и $$p\ne 3$$, то
$$x=\frac{(p-3)(p+3)}{p(p-3)}=\frac{p+3}{p}.$$
г) $$ax+5a=30+6x$$
Перенесём слагаемые с $$x$$ влево, остальные — вправо:
$$ax-6x=30-5a.$$
Вынесем $$x$$ и преобразуем правую часть:
$$x(a-6)=5(6-a).$$
Если $$a=6$$, то получаем $$0=0$$, значит, любое число является корнем.
Если $$a\ne 6$$, то
$$x=\frac{5(6-a)}{a-6}=-5.$$
д) $$ax+8x=a^2+6a-16$$
Вынесем общий множитель:
$$x(a+8)=a^2+6a-16.$$
Разложим правую часть:
$$a^2+6a-16=(a+8)(a-2).$$
Тогда
$$x(a+8)=(a+8)(a-2).$$
Если $$a=-8$$, то уравнение тождественно верно, значит, любое число является корнем.
Если $$a\ne -8$$, то
$$x=a-2.$$
е) $$b^2x-x=b^2+4b-5$$
Вынесем $$x$$:
$$x(b^2-1)=b^2+4b-5.$$
Разложим правую часть и знаменатель на множители:
$$b^2+4b-5=(b+5)(b-1), \qquad b^2-1=(b-1)(b+1).$$
Тогда
$$x(b-1)(b+1)=(b+5)(b-1).$$
Если $$b=-1$$, то корней нет. Если $$b=1$$, то уравнение тождественно верно, значит, любое число является корнем.
Если $$b\ne -1$$ и $$b\ne 1$$, то
$$x=\frac{(b+5)(b-1)}{(b-1)(b+1)}=\frac{b+5}{b+1}.$$
ж) $$cx+x(2-5c)=1-2c$$
Соберём слагаемые с $$x$$:
$$x(c+2-5c)=1-2c,$$
$$x(2-4c)=1-2c,$$
$$2x(1-2c)=1-2c.$$
Если $$c=\frac12$$, то получаем $$0=0$$, значит, любое число является корнем.
Если $$c\ne \frac12$$, то
$$x=\frac{1-2c}{2(1-2c)}=\frac12.$$
з) $$(a^2+1)x+a(a-2x)=1$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$a^2x+x+a^2-2ax=1,$$
$$x(a^2-2a+1)+a^2=1,$$
$$x(a-1)^2=1-a^2.$$
Разложим правую часть:
$$1-a^2=(1-a)(a+1).$$
Если $$a=1$$, то уравнение тождественно верно, значит, любое число является корнем.
Если $$a\ne 1$$, то
$$x=\frac{1-a^2}{(a-1)^2}=\frac{(1-a)(a+1)}{(a-1)^2}=\frac{a+1}{1-a}.$$
Ответ
а) если $$a=0$$, то корней нет; если $$a\ne 0$$, то $$x=\frac{a+6}{a}$$;
б) если $$c=0$$, то корней нет; если $$c=2$$, то любое число; если $$c\ne 0$$ и $$c\ne 2$$, то $$x=\frac{c+2}{c}$$;
в) если $$p=0$$, то корней нет; если $$p=3$$, то любое число; если $$p\ne 0$$ и $$p\ne 3$$, то $$x=\frac{p+3}{p}$$;
г) если $$a=6$$, то любое число; если $$a\ne 6$$, то $$x=-5$$;
д) если $$a=-8$$, то любое число; если $$a\ne -8$$, то $$x=a-2$$;
е) если $$b=-1$$, то корней нет; если $$b=1$$, то любое число; если $$b\ne -1$$ и $$b\ne 1$$, то $$x=\frac{b+5}{b+1}$$;
ж) если $$c=\frac12$$, то любое число; если $$c\ne \frac12$$, то $$x=\frac12$$;
з) если $$a=1$$, то любое число; если $$a\ne 1$$, то $$x=\frac{a+1}{1-a}$$.
