Упр.348 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) |x+1|+|x-2| < 5; в) |x+3|-|x-4|?1; б) |x-3|+|x-4| < 11; г) |x+6|+|x-5|?3.

Подробный ответ

а) $$|x+1|+|x-2|<5$$
Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулем сохраняют знак.
Если $$x\le -1$$, то
$$-(x+1)+(2-x)<5$$
$$-2x+1<5$$
$$x>-2.$$
С учётом условия получаем $$-2<x\le -1$$.
Если $$-1<x\le 2$$, то
$$x+1+2-x<5$$
$$3<5,$$
то есть неравенство верно при всех $$x$$ из этого промежутка.
Если $$x>2$$, то
$$x+1+x-2<5$$
$$2x-1<5$$
$$x<3.$$
С учётом условия получаем $$2<x<3$$.
Итак, $$x\in(-2;3).$$
б) $$|x-3|+|x-4|<11$$
Если $$x\le 3$$, то
$$3-x+4-x<11$$
$$-2x+7<11$$
$$x>-2.$$
С учётом условия: $$-2<x\le 3$$.
Если $$3<x\le 4$$, то
$$x-3+4-x<11$$
$$1<11,$$
то есть неравенство верно при всех $$x$$ из этого промежутка.
Если $$x>4$$, то
$$x-3+x-4<11$$
$$2x-7<11$$
$$x<9.$$
С учётом условия: $$4<x<9$$.
Итак, $$x\in(-2;9).$$
в) $$|x+3|-|x-4|\le 1$$
Если $$x\le -3$$, то
$$-(x+3)-(4-x)\le 1$$
$$-7\le 1,$$
что верно при всех таких $$x$$.
Если $$-3<x\le 4$$, то
$$x+3-(4-x)\le 1$$
$$2x-1\le 1$$
$$x\le 1.$$
С учётом условия: $$-3<x\le 1$$.
Если $$x>4$$, то
$$x+3-(x-4)\le 1$$
$$7\le 1,$$
что неверно.
Итак, $$x\in(-\infty;1].$$
г) $$|x+6|+|x-5|\ge 3$$
Если $$x\le -6$$, то
$$-(x+6)+(5-x)\ge 3$$
$$-2x-1\ge 3$$
$$x\le -2.$$
С учётом условия это верно для всех $$x\le -6$$.
Если $$-6<x\le 5$$, то
$$x+6+5-x\ge 3$$
$$11\ge 3,$$
то есть неравенство верно при всех $$x$$ из этого промежутка.
Если $$x>5$$, то
$$x+6+x-5\ge 3$$
$$2x+1\ge 3$$
$$x\ge 1.$$
С учётом условия это верно для всех $$x>5$$.
Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $$x$$.