Упр.311 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) принадлежат промежутку [1; 2];
б) находятся вне промежутка [4; 7]?

Рассмотрим дробь $$\frac{2a-1}{a+3}$$, при этом $$a\neq -3$$.

а) Требуется, чтобы значения дроби принадлежали промежутку $$[1;2]$$, то есть

$$1\le \frac{2a-1}{a+3}\le 2.$$

Решим по отдельности:

$$\frac{2a-1}{a+3}\ge 1$$
$$\frac{2a-1-a-3}{a+3}\ge 0$$
$$\frac{a-4}{a+3}\ge 0.$$

Отсюда

$$a\in(-\infty;-3)\cup[4;+\infty).$$

$$\frac{2a-1}{a+3}\le 2$$
$$\frac{2a-1-2a-6}{a+3}\le 0$$
$$\frac{-7}{a+3}\le 0.$$

Так как числитель отрицателен, получаем

$$a>-3.$$

Пересекаем результаты:

$$\bigl((-\infty;-3)\cup[4;+\infty)\bigr)\cap(-3;+\infty)=[4;+\infty).$$

б) Требуется, чтобы значения дроби находились вне промежутка $$[4;7]$$, то есть

$$\frac{2a-1}{a+3}<4 \quad \text{или} \quad \frac{2a-1}{a+3}>7.$$

1) Решим неравенство

$$\frac{2a-1}{a+3}<4$$ $$\frac{2a-1-4a-12}{a+3}<0$$ $$\frac{-2a-13}{a+3}<0$$ $$\frac{2a+13}{a+3}>0.$$

Отсюда

$$a\in(-\infty;-6{,}5)\cup(-3;+\infty).$$

2) Решим неравенство

$$\frac{2a-1}{a+3}>7$$
$$\frac{2a-1-7a-21}{a+3}>0$$
$$\frac{-5a-22}{a+3}>0$$
$$\frac{5a+22}{a+3}<0.$$

Отсюда

$$a\in(-4{,}4;-3).$$

Объединяем полученные множества:

$$(-\infty;-6{,}5)\cup(-4{,}4;-3)\cup(-3;+\infty).$$

Ответ

а) $$[4;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;-6{,}5)\cup(-4{,}4;-3)\cup(-3;+\infty).$$