Упр.261 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^3-x)/(x^2+3x-1)^2=2/27; б) (x^2-2x+5)^2/(x^3+5x)=2 2/3.

а) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{x^3-x}{(x^2+3x-1)^2} = \frac{x\left(x^2-1\right)}{(x^2+3x-1)^2} = \frac{x\left(x-\frac1x\right)}{\left(x+3-\frac1x\right)^2} $$

Пусть $$y=x-\frac1x$$, тогда $$x+3-\frac1x=y+3$$. Получаем:

$$ \frac{y}{(y+3)^2}=\frac{2}{27} $$
$$ 27y=2(y+3)^2 $$
$$ 27y=2y^2+12y+18 $$
$$ 2y^2-15y+18=0 $$
$$ D=15^2-4\cdot2\cdot18=81 $$
$$ y_1=\frac{15-9}{4}=\frac32,\qquad y_2=\frac{15+9}{4}=6 $$

1) Если $$x-\frac1x=\frac32$$, то

$$ 2x^2-3x-2=0 $$
$$ D=3^2+16=25 $$
$$ x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{3+5}{4}=2 $$

2) Если $$x-\frac1x=6$$, то

$$ x^2-6x-1=0 $$
$$ D=36+4=40 $$
$$ x=\frac{6\pm\sqrt{40}}{2}=3\pm\sqrt{10} $$

б) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{(x^2-2x+5)^2}{x^3+5x} = \frac{\left(x-2+\frac5x\right)^2}{x+\frac5x} $$

Пусть $$y=x+\frac5x$$, тогда $$x-2+\frac5x=y-2$$. Получаем:

$$ \frac{(y-2)^2}{y}=\frac83 $$
$$ 3(y-2)^2=8y $$
$$ 3y^2-12y+12=8y $$
$$ 3y^2-20y+12=0 $$
$$ D=20^2-4\cdot3\cdot12=256 $$
$$ y_1=\frac{20-16}{6}=\frac23,\qquad y_2=\frac{20+16}{6}=6 $$

1) Если $$x+\frac5x=\frac23$$, то

$$ 3x^2-2x+15=0 $$
$$ D=4-180<0 $$

Решений нет.

2) Если $$x+\frac5x=6$$, то

$$ x^2-6x+5=0 $$
$$ D=36-20=16 $$
$$ x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5 $$

Ответ

а) $$-\frac12,\ 2,\ 3-\sqrt{10},\ 3+\sqrt{10}$$; б) $$1,\ 5$$.