Упр.258 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 2/(x^2+1)+3/(x^4-x^2)=24/(x^6-x^2);
б) 3/(y^2+1)+2/(y^4-y^2)=12/(y^6-y^2).

а) Преобразуем уравнение:

$$\frac{2}{x^2+1}+\frac{3}{x^4-x^2}=\frac{24}{x^6-x^2}$$

Так как $$x^4-x^2=x^2(x^2-1)$$ и $$x^6-x^2=x^2(x^4-1),$$ получаем

$$\frac{2}{x^2+1}+\frac{3}{x^2(x^2-1)}=\frac{24}{x^2(x^4-1)}.$$

Умножим обе части на $$x^2(x^4-1)$$:

$$2x^2(x^2-1)+3(x^2+1)=24.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$2x^4-2x^2+3x^2+3=24$$

$$2x^4+x^2-21=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$2t^2+t-21=0.$$

$$D=1+168=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 13}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=-\frac{7}{2}, \quad t_2=3.$$

Так как $$t=x^2\ge 0,$$ то подходит только $$t=3,$$ значит

$$x=\pm\sqrt{3}.$$

С учётом условия $$x>-\frac{\sqrt{15}}{3}$$ подходит только

$$x=\sqrt{3}.$$

б) Аналогично:

$$\frac{3}{y^2+1}+\frac{2}{y^4-y^2}=\frac{12}{y^6-y^2}$$

Преобразуем знаменатели:

$$\frac{3}{y^2+1}+\frac{2}{y^2(y^2-1)}=\frac{12}{y^2(y^4-1)}.$$

Умножим на $$y^2(y^4-1)$$:

$$3y^2(y^2-1)+2(y^2+1)=12.$$

Раскроем скобки:

$$3y^4-3y^2+2y^2+2=12$$

$$3y^4-y^2-10=0.$$

Положим $$t=y^2$$. Тогда

$$3t^2-t-10=0.$$

$$D=1+120=121,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 11}{6}.$$

Получаем

$$t_1=-\frac{5}{3}, \quad t_2=2.$$

Так как $$t=y^2\ge 0,$$ то подходит только $$t=2,$$ значит

$$y=\pm\sqrt{2}.$$

С учётом условия $$y>-\frac{\sqrt{15}}{3}$$ подходит только

$$y=\sqrt{2}.$$

Ответ

а) $$\sqrt{3}$$; б) $$\sqrt{2}$$.