Упр.249 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x+5)/(x^2-6x+8)+1/(x^2-7x+10)=1/(x-2);
б) (2x-3)/(x^2-x-42)-3/(x^2-11x+28)=2/(x-7).

1. а) Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4), \qquad x^2-7x+10=(x-2)(x-5).$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\frac{x+5}{(x-2)(x-4)}+\frac{1}{(x-2)(x-5)}=\frac{1}{x-2}.$$

   Умножим обе части на $$ (x-2)(x-4)(x-5) $$:

   $$ (x+5)(x-5)+(x-4)=(x-4)(x-5). $$

   Раскроем скобки:

   $$ x^2-25+x-4=x^2-9x+20. $$

   $$ 10x=49,\qquad x=\frac{49}{10}=4{,}9. $$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x\ne 2,\quad x\ne 4,\quad x\ne 5.$$

   Найденное значение подходит.

2. б) Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2-x-42=(x+6)(x-7), \qquad x^2-11x+28=(x-4)(x-7).$$

   Тогда уравнение имеет вид:

   $$\frac{2x-3}{(x+6)(x-7)}-\frac{3}{(x-4)(x-7)}=\frac{2}{x-7}.$$

   Умножим обе части на $$ (x+6)(x-7)(x-4) $$:

   $$ (2x-3)(x-4)-3(x+6)=2(x+6)(x-4). $$

   Раскроем скобки:

   $$ 2x^2-8x-3x+12-3x-18=2x^2+4x-48. $$

   $$ 2x^2-14x-6=2x^2+4x-48. $$

   $$ 18x=42,\qquad x=\frac{7}{3}. $$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x\ne -6,\quad x\ne 4,\quad x\ne 7.$$

   Найденное значение подходит.

Ответ

а) $$x=\frac{49}{10}$$; б) $$x=\frac{7}{3}$$.