Упр.238 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 238. Составьте кубическое уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения x^3-3x^2-10x+24=0.

Подробный ответ

Пусть корни данного уравнения $$x^3-3x^2-10x+24=0$$ равны $$x_1, x_2, x_3.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2+x_3=3,$$
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-10,$$
$$x_1x_2x_3=-24.$$

Нужно составить уравнение, корни которого равны $$\frac{1}{x_1^2}, \frac{1}{x_2^2}, \frac{1}{x_3^2}.$$

Найдём суммы, необходимые для составления нового кубического уравнения.

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$$
$$=3^2-2\cdot(-10)=9+20=29.$$

$$x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)$$
$$=(-10)^2-2\cdot(-24)\cdot 3=100+144=244.$$

Тогда для корней $$\frac{1}{x_1^2}, \frac{1}{x_2^2}, \frac{1}{x_3^2}$$ имеем:

$$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}=\frac{x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2+x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2x_3^2}=\frac{244}{(-24)^2}=\frac{244}{576}=\frac{61}{144},$$
$$\frac{1}{x_1^2x_2^2}+\frac{1}{x_1^2x_3^2}+\frac{1}{x_2^2x_3^2}=\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1^2x_2^2x_3^2}=\frac{29}{576},$$
$$\frac{1}{x_1^2x_2^2x_3^2}=\frac{1}{(-24)^2}=\frac{1}{576}.$$

Следовательно, искомое уравнение:

$$x^3-\frac{61}{144}x^2+\frac{29}{576}x-\frac{1}{576}=0.$$

Умножим на $$576$$:

$$576x^3-244x^2+29x-1=0.$$