Упр.222 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x^2+4x)^2-(x+2)^2=416; в) (x^2+6x)^2-4(x+3)^2=156;
б) (x^2-2x)^2+(x-1)^2=73; г) 3(x^2+2x)^2=35(x+1)^2+115.

Подробный ответ

а)
$$\begin{aligned} (x^2+4x)^2-(x+2)^2&=416,\\ (x^2+4x)^2-(x^2+4x+4)&=416,\\ (x^2+4x)^2-(x^2+4x)-420&=0. \end{aligned}$$
Пусть $$y=x^2+4x$$. Тогда
$$y^2-y-420=0.$$
$$D=1+1680=1681,\quad y_1=\frac{1-41}{2}=-20,\quad y_2=\frac{1+41}{2}=21.$$
1) $$x^2+4x=-20$$, тогда $$x^2+4x+20=0$$, корней нет.
2) $$x^2+4x=21$$, тогда
$$x^2+4x-21=0,$$
$$D=16+84=100,$$
$$x_1=\frac{-4-10}{2}=-7,\quad x_2=\frac{-4+10}{2}=3.$$
б)
$$\begin{aligned} (x^2-2x)^2+(x-1)^2&=73,\\ (x^2-2x)^2+(x^2-2x+1)&=73,\\ (x^2-2x)^2+(x^2-2x)-72&=0. \end{aligned}$$
Пусть $$y=x^2-2x$$. Тогда
$$y^2+y-72=0.$$
$$D=1+288=289,\quad y_1=\frac{-1-17}{2}=-9,\quad y_2=\frac{-1+17}{2}=8.$$
1) $$x^2-2x=-9$$, тогда $$x^2-2x+9=0$$, корней нет.
2) $$x^2-2x=8$$, тогда
$$x^2-2x-8=0,$$
$$D=4+32=36,$$
$$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\quad x_2=\frac{2+6}{2}=4.$$
в)
$$\begin{aligned} (x^2+6x)^2-4(x+3)^2&=156,\\ (x^2+6x)^2-4(x^2+6x+9)&=156,\\ (x^2+6x)^2-4(x^2+6x)-192&=0. \end{aligned}$$
Пусть $$y=x^2+6x$$. Тогда
$$y^2-4y-192=0.$$
$$D=16+768=784,\quad y_1=\frac{4-28}{2}=-12,\quad y_2=\frac{4+28}{2}=16.$$
1) $$x^2+6x=-12$$, тогда $$x^2+6x+12=0$$, корней нет.
2) $$x^2+6x=16$$, тогда
$$x^2+6x-16=0,$$
$$D=36+64=100,$$
$$x_1=\frac{-6-10}{2}=-8,\quad x_2=\frac{-6+10}{2}=2.$$
г)
$$\begin{aligned} 3(x^2+2x)^2&=35(x+1)^2+115,\\ 3(x^2+2x)^2&=35(x^2+2x+1)+115,\\ 3(x^2+2x)^2-35(x^2+2x)-150&=0. \end{aligned}$$
Пусть $$y=x^2+2x$$. Тогда
$$3y^2-35y-150=0.$$
$$D=35^2+4\cdot 3\cdot 150=3025,\quad y_1=\frac{35-55}{6}=-\frac{10}{3},\quad y_2=\frac{35+55}{6}=15.$$
1) $$x^2+2x=-\frac{10}{3}$$, тогда $$3x^2+6x+10=0$$, корней нет.
2) $$x^2+2x=15$$, тогда
$$x^2+2x-15=0,$$
$$D=4+60=64,$$
$$x_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-2+8}{2}=3.$$