Упр.189 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=|x^2+|x|-2|; в) y=x(|x|-3);
б) y=|-6x^2+7|x|-3|; г) y=|x-2|(x+2).

1. а) $$y=\left|x^2+|x|-2\right|$$

   Положим $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$ и

   $$y=\left|t^2+t-2\right|=\left|(t+2)(t-1)\right|.$$

   Так как $$t=|x|\ge 0$$, то знак выражения $$t^2+t-2$$ меняется при $$t=1$$, то есть при $$|x|=1$$.

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} x^2+|x|-2, & |x|\ge 1,\\ -x^2-|x|+2, & |x|<1. \end{cases} $$

   Для построения удобно записать по промежуткам:

   $$ y= \begin{cases} x^2+x-2, & x\ge 1,\\ -x^2-x+2, & 0\le x<1,\\ -x^2+x+2, & -1

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Ключевые точки: $$(-1,0)$$, $$\left(0,2\right)$$, $$\left(1,0\right)$$.

2. б) $$y=\left|-6x^2+7|x|-3\right|$$

   Положим $$t=|x|$$. Тогда

   $$y=\left|-6t^2+7t-3\right|.$$

   Рассмотрим квадратный трёхчлен:

   $$-6t^2+7t-3=-(6t^2-7t+3).$$

   У него дискриминант

   $$D=(-7)^2-4\cdot 6\cdot 3=49-72=-23<0,$$

   а старший коэффициент отрицателен, значит $$-6t^2+7t-3<0$$ при всех $$t$$. Поэтому модуль раскрывается со знаком минус:

   $$y=6x^2-7|x|+3.$$

   По промежуткам:

   $$ y= \begin{cases} 6x^2-7x+3, & x\ge 0,\\ 6x^2+7x+3, & x<0. \end{cases} $$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Минимумы достигаются при $$|x|=\dfrac{7}{12}$$:

   $$ y_{\min}=6\left(\dfrac{7}{12}\right)^2-7\cdot \dfrac{7}{12}+3 =-\dfrac{23}{24}. $$

3. в) $$y=x(|x|-3)$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

   $$y=x(x-3)=x^2-3x.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

   $$y=x(-x-3)=-x^2-3x.$$

   Значит,

   $$ y= \begin{cases} x^2-3x, & x\ge 0,\\ -x^2-3x, & x<0. \end{cases} $$

   Нули функции: $$x=-3,\;0,\;3$$.

4. г) $$y=|x-2|(x+2)$$

   Если $$x\ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$, поэтому

   $$y=(x-2)(x+2)=x^2-4.$$

   Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$, поэтому

   $$y=(2-x)(x+2)=4-x^2.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} x^2-4, & x\ge 2,\\ 4-x^2, & x<2. \end{cases} $$

   Точки стыка графика: $$(-2,0)$$ и $$\left(2,0\right)$$.

Ответ

а) $$y=\left|x^2+|x|-2\right|$$;
б) $$y=\left|-6x^2+7|x|-3\right|=6x^2-7|x|+3$$;
в) $$y=x(|x|-3)=\begin{cases}x^2-3x,& x\ge 0,\\ -x^2-3x,& x<0;\end{cases}$$
г) $$y=|x-2|(x+2)=\begin{cases}x^2-4,& x\ge 2,\\ 4-x^2,& x<2.\end{cases}$$