Упр.162 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 162. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1/(v3+1).

Пусть один из корней квадратного уравнения равен

$$x_1=\frac{1}{\sqrt{3}+1}.$$

Тогда второй корень удобно взять сопряжённым:

$$x_2=\frac{1}{1-\sqrt{3}}.$$

Составим уравнение по корням:

$$2\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)\left(x-\frac{1}{1-\sqrt{3}}\right)=0.$$

Упростим произведение:

$$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}, \qquad \frac{1}{1-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$$

Тогда

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)=0.$$

Раскрывая скобки, получаем:

$$2\left(x^2+x-\frac12\right)=0,$$

откуда

$$2x^2+2x-1=0.$$

Ответ

$$2x^2+2x-1=0.$$