Упр.1609 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (1+cos(2?))/(ctg(?/2)-tg(?/2)); б) sin^6(?)+cos^6(?).

Из условия известно, что

$$\sin a+\cos a=a.$$

Возведём это равенство в квадрат:

$$a^2=(\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=1+2\sin a\cos a.$$

Отсюда

$$2\sin a\cos a=a^2-1,\qquad \sin a\cos a=\frac{a^2-1}{2}.$$

а)

Преобразуем выражение:

$$\frac{1+\cos 2a}{\ctg \frac a2-\tg \frac a2}.$$

Используем формулы

$$1+\cos 2a=2\cos^2 a,$$

$$\ctg \frac a2-\tg \frac a2=\frac{\cos \frac a2}{\sin \frac a2}-\frac{\sin \frac a2}{\cos \frac a2} =\frac{\cos^2 \frac a2-\sin^2 \frac a2}{\sin \frac a2\cos \frac a2} =\frac{\cos a}{\sin \frac a2\cos \frac a2}.$$

Тогда

$$\frac{1+\cos 2a}{\ctg \frac a2-\tg \frac a2} =\frac{2\cos^2 a}{\dfrac{\cos a}{\sin \frac a2\cos \frac a2}} =2\cos a\sin \frac a2\cos \frac a2 =\sin a\cos a.$$

Следовательно,

$$\frac{1+\cos 2a}{\ctg \frac a2-\tg \frac a2}=\frac{a^2-1}{2}.$$

б)

Найдём

$$\sin^6 a+\cos^6 a=(\sin^2 a)^3+(\cos^2 a)^3.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$$

Тогда

$$\sin^6 a+\cos^6 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^3-3\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a).$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

$$\sin^6 a+\cos^6 a=1-3\sin^2 a\cos^2 a.$$

Подставим $$\sin a\cos a=\frac{a^2-1}{2}:$$

$$\sin^2 a\cos^2 a=\left(\frac{a^2-1}{2}\right)^2=\frac{(a^2-1)^2}{4}.$$

Тогда

$$\sin^6 a+\cos^6 a=1-\frac{3(a^2-1)^2}{4} =\frac{4-3(a^4-2a^2+1)}{4} =\frac{6a^2-3a^4+1}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{a^2-1}{2}$$; б) $$\frac{6a^2-3a^4+1}{4}$$.