Упр.15 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 15. Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство (a+1)(b+1)(ab+1) > 8ab.

Так как $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$, применим неравенство Коши в виде $$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$$.

Тогда

$$ \frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a\cdot 1} = \sqrt a,\qquad \frac{b+1}{2} \ge \sqrt b,\qquad \frac{ab+1}{2} \ge \sqrt{ab}. $$

Перемножим эти неравенства:

$$ \frac{(a+1)(b+1)(ab+1)}{8} \ge \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt{ab}. $$

Так как $$\sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt{ab} = ab,$$, получаем

$$ (a+1)(b+1)(ab+1) \ge 8ab. $$

Следовательно, неравенство верно.

Ответ

$$ (a+1)(b+1)(ab+1) \ge 8ab. $$