Упр.1406 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (2sin(x)cos(x)-1)/(sin(x)-cos(x))^2;
б) 1/(1+tg^2(x))+1/(1+ctg^2(x)).

а) Преобразуем числитель, используя формулу $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$ \frac{2\sin x\cos x-1}{(\sin x-\cos x)^2} = \frac{2\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x}{(\sin x-\cos x)^2} $$

Так как

$$ 2\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x=-(\sin x-\cos x)^2, $$

то

$$ \frac{2\sin x\cos x-1}{(\sin x-\cos x)^2} = \frac{-(\sin x-\cos x)^2}{(\sin x-\cos x)^2} =-1. $$

Значение выражения не зависит от $$x$$.

б) Используем тождества

$$ 1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}, \qquad 1+\ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}. $$

Тогда

$$ \frac{1}{1+\tg^2 x}+\frac{1}{1+\ctg^2 x} = \cos^2 x+\sin^2 x =1. $$

Значение выражения также не зависит от $$x$$.

Ответ

а) $$-1$$; б) $$1$$.