Упр.1404 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin^2(x)-cos^2(x)=sin^4(x)-cos^4(x);
б) (1+cos(?))(1+tg(?))=1+sin(?)+cos(?)+tg(?);
в) (tg(x)+ctg(x))^2-(tg(x)-ctg(x))^2=4;
г) (sin(?)+cos(?))^2+(sin(?)-cos(?))^2=2;
д) sin^3(x)(1+ctg(x))+cos^3(x)(1+tg(x))=sin(x)+cos(x);
е) ((sin(?)+cos(?))^2-1)/(ctg(?)-sin(?)cos(?))=2tg^2(?).

1. а)

   $$\sin^2 x-\cos^2 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
   $$=\sin^4 x-\cos^4 x.$$
   Тождество доказано.

2. б)

   $$\left(1+\cos a\right)\left(1+\tg a\right)=1+\cos a+\tg a+\cos a\cdot\tg a$$
   $$=1+\cos a+\tg a+\sin a.$$
   Значит,
   $$\left(1+\cos a\right)\left(1+\tg a\right)=1+\sin a+\cos a+\tg a.$$
   Тождество доказано.

3. в)

   $$\left(\tg x+\ctg x\right)^2-\left(\tg x-\ctg x\right)^2$$
   $$=4\tg x\cdot\ctg x$$
   $$=4.$$
   Тождество доказано.

4. г)

   $$\left(\sin a+\cos a\right)^2+\left(\sin a-\cos a\right)^2$$
   $$=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a+\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a$$
   $$=2\sin^2 a+2\cos^2 a=2.$$
   Тождество доказано.

5. д)

   $$\sin^3 x(1+\ctg x)+\cos^3 x(1+\tg x)$$
   $$=\sin^3 x+\sin^2 x\cos x+\cos^3 x+\cos^2 x\sin x$$
   $$=\sin^2 x(\sin x+\cos x)+\cos^2 x(\sin x+\cos x)$$
   $$=(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin x+\cos x)$$
   $$=\sin x+\cos x.$$
   Тождество доказано.

6. е)

   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a}$$
   $$=\frac{\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1}{\ctg a-\sin a\cos a}$$
   $$=\frac{2\sin a\cos a}{\ctg a-\sin a\cos a}.$$
   Так как
   $$\ctg a-\sin a\cos a=\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a=\cos a\left(\frac{1}{\sin a}-\sin a\right)$$
   $$=\cos a\cdot\frac{1-\sin^2 a}{\sin a}=\cos a\cdot\frac{\cos^2 a}{\sin a},$$
   то
   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a} =\frac{2\sin a\cos a}{\cos a\cdot\frac{\cos^2 a}{\sin a}} =\frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} =2\tg^2 a.$$
   Тождество доказано.

Ответ

Все данные тождества верны.