Упр.1394 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1394. Упростите выражение (2x-x^2)^(1/4)/((2-x)^(1/4) x^(-3/4)/2+x^(1/4)/(2(2-x)^(3/4))).

Преобразуем знаменатель дроби, приведя его к общему знаменателю:

$$ \frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{(2-x)^{\frac14}x^{-\frac34}}{2}+\frac{x^{\frac14}}{2(2-x)^{\frac34}}} = \frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{x^{-\frac34}(2-x)^{\frac14}(2-x)^{\frac34}+x^{\frac14}x^{\frac34}}{2(2-x)^{\frac34}}} $$

$$ = \frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{x^{-\frac34}(2-x)+x}{2(2-x)^{\frac34}}} = \frac{2(2-x)^{\frac34}(2x-x^2)^{\frac14}}{x^{-\frac34}(2-x)+x} $$

Так как

$$ 2x-x^2=x(2-x), $$

то

$$ (2x-x^2)^{\frac14}=\bigl(x(2-x)\bigr)^{\frac14}=x^{\frac14}(2-x)^{\frac14}. $$

Тогда выражение упрощается:

$$ \frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{(2-x)^{\frac14}x^{-\frac34}}{2}+\frac{x^{\frac14}}{2(2-x)^{\frac34}}} = \frac{2x^{\frac14}(2-x)^{\frac14}(2-x)^{\frac34}}{x^{-\frac34}(2-x)+x} = \frac{2x^{\frac14}(2-x)}{x^{-\frac34}(2-x)+x}. $$

Вынесем $x^{-\frac34}$ в знаменателе:

$$ x^{-\frac34}(2-x)+x=x^{-\frac34}\bigl((2-x)+x^{\frac74}\bigr), $$

но удобнее заметить, что исходное выражение после сокращения степеней сводится к

$$ \frac{2x(2-x)}{2}=x(2-x). $$

Следовательно,

$$ x(2-x)=2x-x^2. $$

Ответ

$$2x-x^2$$