Упр.1264 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1264. Упростите выражение (y^(1/2)/(x^(1/2)+y^(1/2))-(x^(1/2)+y^(1/2))/x^(1/2)):(x^(3/2)-y^(3/2))/x^(1/2).

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{y^{1/2}}{x^{1/2}+y^{1/2}}-\frac{x^{1/2}+y^{1/2}}{x^{1/2}}\right):\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x^{1/2}} $$

Сначала приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}-(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $$

Тогда всё выражение равно

$$ \frac{\sqrt{xy}-(x+2\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}} $$

Упростим числитель:

$$ \sqrt{xy}-(x+2\sqrt{xy}+y)=-(x+\sqrt{xy}+y) $$

Получаем

$$ -\frac{x+\sqrt{xy}+y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)} $$

Сокращаем общий множитель:

$$ -\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})} $$

$$ -\frac{1}{x-y}=\frac{1}{y-x} $$

Ответ

$$ \frac{1}{y-x} $$