Упр.1209 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

А: Отношение длины окружности к её диаметру равно числу ?.
B: 1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2.
C: v(3+2v2)=v2+1.
D: Для любого действительного числа x верно равенство 2x^2-x-3=0.
E: vx=v(-x).
F: Сумма смежных углов;
G: Найдётся хотя бы одно действительное число х, такое, что будет выполняться равенство 2x^2-x-3=0.
H: При любых x < 0 верно равенство v(x^2)=-x. Выпишите предложения, которые: а) являются высказываниями; б) являются предикатами: в) являются тождественными предикатами: г) не являются высказываниями; д) не являются высказываниями и не являются предикатами. Отметьте среди них истинные предложения.

Подробный ответ

Разберём каждое предложение.

A. «Отношение длины окружности к её диаметру равно числу $$\pi$$» — это высказывание, и оно истинно.

B. $$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$$ — предикат, так как содержит переменную $$n$$. Это тождественный предикат, потому что равенство верно при любом натуральном $$n$$.

C. $$\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt2+1$$ — высказывание. Проверим:

$$ (\sqrt2+1)^2=2+1+2\sqrt2=3+2\sqrt2, $$
значит,
$$ \sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt2+1. $$
Это истинное высказывание.

D. «Для любого действительного числа $$x$$ верно равенство $$2x^2-x-3=0$$» — высказывание, но ложное, так как равенство не выполняется при всех $$x$$.

E. $$\sqrt{x}=\sqrt{-x}$$ — предикат, так как содержит переменную $$x$$. Он не является тождественным.

F. «Сумма смежных углов» — это не высказывание и не предикат, так как это не законченное предложение.

G. «Найдётся хотя бы одно действительное число $$x$$, такое, что будет выполняться равенство $$2x^2-x-3=0$$» — высказывание. Проверим существование корней:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25>0, $$
значит, уравнение имеет действительные корни. Следовательно, предложение истинно.

H. «При любых $$x<0$$ верно равенство $$\sqrt{x^2}=-x$$» — высказывание. Так как при $$x<0$$ имеем $$\sqrt{x^2}=|x|=-x$$, предложение истинно.

Теперь распределим предложения.